知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
1
3
x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-1，4]上的最大值．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…
（1）若函数φ（x）=f（x）-
x+1
x-1
，求函数φ（x）的单调区间；
（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x₀，f（x₀））处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

难度：难

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3．己知函数f（x）=
1
3
x3-ax2-3ax+b，实数a＞0，b＞0．若函数f（x）在x=0处的切线斜率为-3，
（1）试确定a的值；
（2）若b=0，求f（x）的极大值和极小值；
（3）若当x∈[b，3b]时，f（x）＞4b恒成立．求b的取值范围．

难度：较难

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4．设f（x）=（x+1）e^ax（其中a≠0），曲线y=f（x）在x=
1
a
处有水平切线．
（1）求a的值；
（2）设g（x）=f（x）+x+xlnx，证明：对任意x₁，x₂∈（0，1）有|g（x₁）-g（x₂）|＜e^-1+2e^-2．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=x（a+lnx）（a∈R）
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值．
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处切线的斜率为3，且2f（x）-（b+1）x+b＞0对任意x＞1都成立，求整数b的最大值．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=
1+x
1-x
•e^-ax（a＞0）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=
1
2
处的切线方程；
（2）讨论方程f（x）-1=0根的个数．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=
1
2
x²-mlnx，g（x）=
1
2
x²-2x，F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当m＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当m=-1时，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=F（x）相切？说明理由．

难度：较难

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10．函数f（x）=x³+（a-1）x²-（a+1）x-a．
（1）若函数f（x）在x=1时的切线斜率为-1，求函数f（x）的解析式．
（2）若对任意实数a∈[-1，1]，函数f（x）在（-∞，m）和（n，+∞）上都是增函数，求m与n的取值范围．

难度：较难

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