知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}ax^{2}-1-\ln x\)，其中\(a∈R\)．
\((1)\)若\(a=0\)，求过点\((0,-1)\)且与曲线\(y=f(x)\)相切的直线方程；
\((2)\)若函数\(f(x)\)有两个零点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，
\(①\)求\(a\)的取值范围；
\(②\)求证：\(f′(x_{1})+f′(x_{2}) < 0\)．

难度：中等

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2．
已知函数\(f(x)=\sin x+\cos x\)，则曲线\(y=f(x)\)在\(x= \dfrac {π}{12}\)处的切线的斜率为 ______ ．

难度：易

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3．
曲线\(C\)：\(f(x)=\sin x+e^{x}+2\)在\(x=0\)处的切线方程为 ______ ．

难度：较易

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4．
已知函数\(f(x)=xe^{x}+2\)，则曲线\(y=f(x)\)在点\((0,f(0))\)处的切线方程\((\)用一般式表示\()\)为 ______ ．

难度：易

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5．
已知函数\(f(x)=x-a\ln x-1\)，曲线\(y=f(x)\)在\((1,0)\)处的切线经过点\((e,0)\)．
\((1)\)证明：\(f(x)\geqslant 0\)；
\((2)\)若当\(x∈[1,+∞)\)时，\(f( \dfrac {1}{x})\geqslant \dfrac {(\ln x)^{2}}{p+\ln x}\)，求\(p\)的取值范围．

难度：较易

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6．
曲线\(f(x)=x^{3}-x+3\)在点\(P(1,f(1))\)处的切线方程为 ______ ．

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)=x^{3}-6x^{2}+ax+b(a∈R)\)的图象在与\(x\)轴的交点处的切线方程为\(y=9x-18\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的解析式；
\((2)\)若\( \dfrac {1}{10}kx(x-2)^{2} < f(x) < 9x+k\)对\(x∈(2,5)\)恒成立，求\(k\)的取值范围．

难度：较易

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8．
已知曲线\(y=f(x)=x^{2}-1-a\ln x(a∈R)\)与\(x\)轴有唯一公共点\(A\)．
\((\)Ⅰ\()\)求实数\(a\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)曲线\(y=f(x)\)在点\(A\)处的切线斜率为\(a^{2}-a-7.\)若两个不相等的正实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)满足\(|f(x_{1})|=|f(x_{2})|\)，求证：\(x_{1}x_{2} < 1\)．

难度：中等

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9．
已知函数\(f(x)=4x^{2}+ \dfrac {1}{x}-a\)，\(g(x)=f(x)+b\)，其中\(a\)，\(b\)为常数．
\((1)\)若\(x=1\)是函数\(y=xf(x)\)的一个极值点，求曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
\((2)\)若函数\(f(x)\)有\(2\)个零点，\(f(g(x))\)有\(6\)个零点，求\(a+b\)的取值范围．

难度：易

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10．

已知函数\(y= \dfrac {1}{2}x^{2}\)的图象在点\((x_{0}, \dfrac {1}{2}x_{0}^{2})\)处的切线为\(l\)，若\(l\)也为函数\(y=\ln x(0 < x < 1)\)的图象的切线，则\(x_{0}\)必须满足\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac { \sqrt {2}}{2} < x_{0} < 1\)

B．\(1 < x_{0} < \sqrt {2}\)

C．\( \sqrt {2} < x_{0} < \sqrt {3}\)

D．\( \sqrt {3} < x_{0} < 2\)

难度：难

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