知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），求证：x₀=1；
（Ⅱ）令F(x)=
f(x)
g(x)
，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

难度：难

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2．已知函数f（x）=2x²-xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．

难度：中等

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3．若（x+
2
x
）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=
a
6
x与曲线y=x²所围成的封闭区域面积为．

难度：较易

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4．
∫
π
0
2sin2
x
2
dx+
∫
1
0
1-x2
dx= ．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）当0＜a＜1时，求证：函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
（2）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（3）对于任意x₁，x₂∈[-1，1]都有，|f（x₁）-f（x₂）≤e-1，试求a的取值范围．|

难度：中等

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7．已知函数f（x）=a+
x
lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

难度：中等

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8．求函数f（x）=x²e^2x单调区间及极值．

难度：较易

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9．先阅读下面的推理过程，然后完成下面问题：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的两边对x求导，即（cos2x）′=（2cos²x-1）′；
由求导法则得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx）化简后得等式sin2x=2sinxcosx．
（Ⅰ）已知等式（1+x）ⁿ=
C
0
n
+
C
1
n
x+
C
2
n
x²+…+
C
n-1
n
x^n-1+
C
n
n
xⁿ（x∈R，整数n≥2），证明：n[（1+x）^n-1-1]=
n
k=2
k
C
k
n
x^k-1；
（Ⅱ）设n∈N^*，x∈R，已知（2+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令b_n=
n(n2+1)(a0-2n-1)
a1+2a2+3a3+…+nan
，求数列{b_n}的最大项．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
x≥0
x-y≥0
，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=
1
2
时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

难度：较难

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