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          共50条信息

            • 1． 已知数列\(\{a_{n}\}\)的首项\(a_{1}=1\)，且\(a_{n+1}=2a_{n}+1(n∈N^{*})\)
              \((\)Ⅰ\()\)证明数列\(\{a_{n}+1\}\)是等比数列，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=\dfrac{n}{{a}_{n}+1} \)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；

              \((\)Ⅲ\()\)在条件\((\)Ⅱ\()\)下对任意正整数\(n\)，不等式\(S_{n}+\dfrac{n+1}{{2}^{n}} -1 > (-1)^{n}⋅a\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围\(.\)   

              难度：较难
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            • 2．
              设\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且对任意\(n∈N^{*}\)时，点\((a_{n},S_{n})\)都在函数\(f(x)=- \dfrac {1}{2}x+ \dfrac {1}{2}\)的图象上．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac {3}{2}\log _{3}(1-2S_{n})+10\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)的最大值．
              难度：较易
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            • 3．
              已知二次函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{2}+ \dfrac {2}{3}x.\)数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，点\((n,S_{n})(n∈N^{*})\)在二次函数\(y=f(x)\)的图象上．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=a_{n}a_{n+1}\cos [(n+1)π](n∈N^{*})\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若\(T_{n}\geqslant tn^{2}\)对\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围；
              \((\)Ⅲ\()\)在数列\(\{a_{n}\}\)中是否存在这样一些项：\(a\;_{n_{1}}\)，\(a\;_{n_{2}}\)，\(a\;_{n_{3}}\)，\(…\)，\(a\;_{n_{k}}\)这些项都能够
              构成以\(a_{1}\)为首项，\(q(0 < q < 5)\)为公比的等比数列\(\{a\;_{n_{k}}\}\)？若存在，写出\(n_{k}\)关于\(f(x)\)的表达式；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}{中},a_{1}= \dfrac {1}{2},{点}(n,2a_{n+1}-a_{n})(n∈N^{*}){在直线}y=x{上}\)，
              \((\)Ⅰ\()\)计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}-1\)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列；
              \((\)Ⅲ\()\)设\(S_{n}\)、\(T_{n}\)分别为数列\(\{a_{n}\}\)、\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，是否存在实数\(λ\)，使得数列\(\{ \dfrac {S_{n}+λT_{n}}{n}\}\)为等差数列？若存在，试求出\(λ\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)各项为正数，\(S_{n}\)是其前\(n\)项和，且\(s_{n}=2n^{2}-30n.\)求\(a_{1}\)及\(a_{n}\)．
              难度：较易
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}= \dfrac {3}{5}\)，\(a_{n}=2- \dfrac {1}{a_{n-1}}(n\geqslant 2,n∈N)\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}-1}(n∈N*)\)．
              \((1)\)求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；
              \((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)中的最大项和最小项，并说明理由．
              难度：较易
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            • 7．

              设等差数列\(n\) 的前\(n\) 项和为\(S_{n}\)，已知\(a\)3\(=24\) ，\(S\)10\({=}0\) ．

              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(n\) 的前\(n\) 项和\(S_{n}\)；

              \((\)Ⅱ\()\)设\(n\) ，求数列\(n\) 前\(n\) 项和\(T_{n}\)的最大值．

              难度：较易
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            • 8． 数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式是\(a_{n}=n^{2}-7n+6\)．
              \((1)\)这个数列的第\(4\)项是多少？
              \((2)150\)是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
              \((3)\)该数列从第几项开始各项都是正数？
              难度：中等
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            • 9．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，对一切正整数\(n\)，点\(P_{n}(n,S_{n})\)都在函数\(f(x)=x^{2}+2x\)的图像上，且过点\(P_{n}(n,S_{n})\)的切线的斜率为\(k_{n}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\)若\({b}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{n}·({k}_{n}+1)} \)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：难
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            • 10．

              \(( 1 )\)曲线\(f(x)=\sqrt{2x-4}\)在点\((4,f(4))\)处的切线方程为_____________________．

              \(( 2\)  \()\int_{0}^{2}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}+x \right)dx}\)的值等于_____________．

              \((\)  \(3 )\)已知复数\(z=x+yi\)，且\(\left| z-2 \right|=\sqrt{3}\)，则\(\dfrac{y}{x}\)的最大值为        ．

              \(( 4\)  \()\)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达\(110\)个，设\(x\in R\)，用\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，并用\(\{x\}=x-[x]\)表示\(x\)的非负纯小数，则\(y=[x]\)称为高斯函数，已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足\({{a}_{1}}=\sqrt{3},{{a}_{n+1}}=[{{a}_{n}}]+\dfrac{1}{\{{{a}_{n}}\}},(n\in {{N}^{*}})\)，则\({{a}_{2017}}=\)__________．

              难度：中等
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