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          共50条信息

            • 1． n2（n≥4，n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=
              a11a12a13a14…a1n
              a21a22a23a24…a2n
              a31a32a33a34…a3n
              ………
              an1an2an3an4…ann
              ，其中aij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a22=6，a33=16．
              （Ⅰ） 求a11和aij．
              （Ⅱ）设An=a1n+a2（n-1）+a3（n-2）+…+an1．
              ①求An；
              ②证明：当n是3的倍数时，An+n能被21整除．
              难度：中等
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            • 2． 对任意正整数n，设an是方程x2+
              x
              n
              =1的正根．求证：
              （1）an+1＞an；
              （2）
              1
              2a2
              +
              1
              3a3
              +…+
              1
              nan
              ＜1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +…+
              1
              n
              ．
              难度：较难
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            • 3． 已知有穷数列：a1，a2，a3，…，ak (k∈N*，k≥3)的各项均为正数，且满足条件：
              ①a1=ak；②an+
              2
              an
              =2an+1+
              1
              an+1
                (n=1，2，3，…，k-1)              ．
              （Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；
              （Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；
              （Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
              难度：较难
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            • 4． 对于无穷数列{Tn}，若正整数n0，使得n≥n0（n∈N*）时，有Tn+1＞Tn，则称{Tn}为“n0～不减数列”．
              （1）设s，t为正整数，且s＞t，甲：{xn}为“s～不减数列”，乙：{xn}为“t～不减数列”．
              试判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；
              （2）已知函数y=f（x）与函数y=-
              1
              x
              +2的图象关于直线y=x对称，数列{an}满足a1=3，an+1=f（an）（n∈N*），如果{an}为“n0～不减数列”，试求n0的最小值；
              （3）设yn=
              f(
              4
              3
              )，(n=1)
              (
              1
              2n
              +1)cosnπ，(n≥2，n∈N*)
              ，且xn-λyn=2n，是否存在实数λ使得{xn}为“
              1
              2
              f（f（
              4
              3
              ））～不减数列”？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 5． 如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作后剩余图形的总面积为an．

              （1）求a1、a2；
              （2）欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的
              1
              4
              ，问至少经过多少次操作？
              （3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Sn．
              难度：较难
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            • 6． 已知数列{an}及f（xn）=a1x+a2x2+…+anxn，fn（-1）=（-1）nn，n∈N*．
              （Ⅰ）求a1，a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）设bn=an-10，求数列{|bn|}的前n项和Tn；
              （Ⅲ）若 （
              1
              2
              n）•an≤
              1
              4
              m2+
              3
              2
              m-1 对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
              难度：较难
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            • 7． 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形

              （1）求f（6）的值
              （2）求出f（n）的表达式
              （3）求证：1≤
              1
              f(1)
              +
              1
              f(2)-1
              +
              1
              f(3)-1
              +…+
              1
              f(n)-1
              ＜
              3
              2
              ．
              难度：中等
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            • 8． 某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、汽油费费用共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年为0.6万元，…依等差数列逐年递增．
              （1）设该车使用n年的总费用（包括购车费）为f（n），试写出f（n）的表达式；
              （2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年？使得年平均费用最少）？
              （3）如果汽车采用分期付款的方式购买，在购买一个月后第一次付款，且在每月的同一天等额付款一次，在购买后的第一年（24个月）将货款全部付清，月利率为1%，按复利算，每月应付款多少元给汽车销售商（结果精确到元，参考数据1.0124≈1.27）？
              难度：中等
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            • 9． 已知数列{an}满足nan+1=（n+1）an+1，n∈N*，a1=a＞0．
              （1）求a2，a3，a4的值并猜出{an}的通项公式；
              （2）求证，分别以a2，a3，a4为边的三角形不可能是直角三角形．
              难度：中等
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            • 10． 已知数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p为大于1的常数），记f（n）=
              1+
              C
              1
              n
              a1+
              C
              2
              n
              a2+…+
              C
              n
              n
              an
              2nSn
              ．
              （1）求an；
              （2）求证：f（1）+f（2）+…+f（2n-1）≥（2n-1）f（n），（n∈N*）．
              难度：较难
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