知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

难度：较难

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2．设数列{a_n}的各项均为正数，{a_n}的前n项和Sn=
1
4
(an+1)2，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）等比数列{b_n}的各项均为正数，bnbn+1≥Sn2，n∈N^*，且存在整数k≥2，使得bkbk+1=Sk2．
（i）求数列{b_n}公比q的最小值（用k表示）；
（ii）当n≥2时，bn∈N*，求数列{b_n}的通项公式．

难度：较难

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3．已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，对于任意n∈N₊均有f（1）=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}为等差数列；
（2）若n为偶数，且bn=2f(-1)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．已知首项为3的数列{a_n}满足：
(an+1-1)(an-1)
an-an+1
=3，且b_n=
1
an-1
．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{2ⁿ•b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．设数列{a_n}的前项和为S_n，且{
Sn
n
}是等差数列，已知a₁=1，
S2
2
+
S3
3
+
S4
4
=6，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=
an+1
an+2
+
an+2
an+1
，数列{b_n}的前项和为T_n，求证：T_n＜2n+
1
2
．

难度：中等

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6．设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N^*，数列{b_n}满足b₁=2，b₄=31，且{b_n-a_n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项b_n=
4
(an-1)(an+1-1)
，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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8．在数列{b_n}中，a_n+3=a_n+3（n∈N₊），a₁=1，S_n是其前n项和．记b_n=
n+a cSn+a
（a≥0，c＞0，c≠1）．
（1）设数列{a_3n-2}（n∈N₊）的前n项和T_n，求T_n表达式；
（2）若S₁₅=15a₈=120，证明：{a_n}以为等差数列：
（3）若数列{b_n}为等比数列，求数列{a_n}的通项公式，并求此时实数a的值．

难度：较难

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9．已知各项均不为零的数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，其中S_n为数列{a_n}前n项和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列？若存在，求出k及对应的a的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，且数列{a_n}的前n 项和S _n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2（n≥3）
（1）求证：{a_n}为等差数列；
（2）记数列b_n=
an
3n
，试归纳数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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n+a	cSn+a