知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足3S_n-4a_n+2=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n为{b_n}的前n项和，求证：
n
k=1
1
T k
＜2．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足4a_n-3S_n=2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=
1
2
a_n-4n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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4．已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n，其前n项和为S_n，若（n-1）²≤m（S_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*都有a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ，记b_n=
an-2n
3n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求S_n；
（3）证明：存在k∈N^*，使得
an+1
an
≤
ak+1
ak
．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}满足：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
n2
2
（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ-
1
3
恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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7．数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n+2．
（I）求证：{a_n+2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=
n
an+2
，求和S_n=b₁+b₂+…+b_n，并证明：∀n∈N*，
1
5
≤Sn＜
4
5
．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，…），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a，b；
（2）若T_n为数列{b_n}的前n项和，证明：当n≥2时，2S_n＞T_n+3n．

难度：中等

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9．已知定义在D=（
-1-
5
2
，
-1+
5
2
）上的函数f（x）=
1
1-x-x2
，存在无穷数列{a_n}，满足f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
（1）试求数列{a_n}的前三项a₀、a₁、a₂的值，并证明：对任意的n∈N^*都有a_n≥n；
（2）数列{a_n}满足b_n=
an
an-1an+1
，n∈N^*，是否存在正常数r，使{b_n}的前n项和S_n≤rf（x）对任意的x∈D恒成立？若存在，试求出常数r的最小值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}是各项正数首项1等差数列，S_n为其前n项和，若数列{
Sn
}也为等差数列，则
Sn+8
an+1
的最小值是．

难度：中等

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