知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=
1
2
，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1，2，…
（1）证明：数列{
n+1
n
S_n}是等差数列，并求S_n．
（2）设b_n=
Sn
n3+3n2
，求证：b₁+b₂+…+b_n＜
5
11
．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+
1
n
，则a₄= ．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=-
1
2
，Sn=-
1
Sn-1+2
(n≥2)
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并证明你的结论．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₃+a₅=-4．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₄=-1，且2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），
①证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
②求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-1，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设anbn=
3n
n2+n
，数列{b_n}的前n项和为T_n，若Tn＜c2-2c对n∈N^*恒成立，求实数c的取值范围．

难度：中等

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6．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且向量
a
=（-4，n），
b
=（S_n，n+3）垂直．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{
1
(2an+1)n
}前n项和为T_n，求证：T_n＜
3
4
．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+2a_n+1-9a_na_n+1=1（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由此猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法给出证明．

难度：中等

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8．已知{a_n}是递增的等差数列，a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2^a_n+a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}中，a1=
2
2
，an+1=
n+1
n+2
an (n=1，2，…)．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

难度：中等

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