知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N^*都有
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+
1
a4-a3
+…+
1
an+1-an
＜1．

难度：较难

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2．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=
2max{an+1，2}
an
（n∈N），若a₂₀₁₅=4a，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为．

难度：较难

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3．已知各项为正的数列{a_n}的首项为a₁=2sinθ（θ为锐角），
4-
a
2
n
+a

2
n+1
=2，数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃，写出a_n（不用证明）；
（2）①当x∈（0，
π
2
）时，证明sinx＜x；
②若θ=
π
4
，证明a₁+a₂+…+a_n＜π．

难度：中等

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4．已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂=10，a₄-a₃=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若等比数列{b_n}满足b₂=a₃，b₃=a₇，求数列{b_n}的通项公式．

难度：较易

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5．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=1-
1
an-1+1
（n≥2），则a₃= ．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，a₁=2，则数列{a_n}的通项公式是．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2），a₁=1，
（1）求证数列数列{
1
Sn
}是等差数列
（2）求a_n．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足a1=
7
6
，an+1=
1
2
an+
1
3
，
（1）当an≠
2
3
时，求证{an-
2
3
}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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9．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；
（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}满足a1=a，an+1=
1
2-an
．
（Ⅰ）依次计算a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．

难度：中等

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