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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)首项\(a_{1}= \dfrac {1}{3}\)，且满足\(a_{n+1}= \dfrac {1}{3}a_{n}\)，设\(b_{n}+2=4\log _{ \frac {1}{3}}a_{n}(n∈N^{*})\)，数列\(\{c_{n}\}\)满足\(c_{n}=a_{n}⋅b_{n}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：较易
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中\(a_{1}=1\)，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若对任意的\(n∈N*\)，均有\(S_{n}=a_{n+k}-k(k\)是常数，且\(k∈N*)\)成立，则称数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(k)\)数列”．
              \((1)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(1)\)数列”，求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(2)\)数列”，且\(a_{2}\)为整数，试问：是否存在数列\(\{a_{n}\}\)，使得\(|a \;_{ n }^{ 2 }-a_{n-1}a_{n+1}|\leqslant 40\)对一切\(n\geqslant 2\)，\(n∈N*\)恒成立？如果存在，求出这样数列\(\{a_{n}\}\)的\(a_{2}\)的所有可能值，如果不存在，请说明理由；
              \((3)\)若数列\(\{a_{n}\}\)为“\(H(k)\)数列”，且\(a_{1}=a_{2}=…=a_{k}=1\)，证明：\(a_{n+2k}\geqslant (1+ \dfrac {1}{2^{k-1}})^{n-k}\)．
              难度：中等
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(na_{n+1}-(n+1)a_{n}=1(n∈N_{+})\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{2}\cdot ( \dfrac {8}{9})^{n}(n∈N_{+})\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的最大项．
              难度：难
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            • 4．
              如果无穷数列\(\{a_{n}\}\)满足下列条件：\(① \dfrac {a_{n}+a_{n+2}}{2}\leqslant a_{n+1}\)；\(②\)存在实数\(M\)，使\(a_{n}\leqslant M.\)其中\(n∈N^{*}\)，那么我们称数列\(\{a_{n}\}\)为\(Ω\)数列．
              \((1)\)设数列\(\{b_{n}\}\)的通项为\(b_{n}=5n-2^{n}\)，且是\(Ω\)数列，求\(M\)的取值范围；
              \((2)\)设\(\{c_{n}\}\)是各项为正数的等比数列，\(S_{n}\)是其前项和，\(c_{3}= \dfrac {1}{4}\)，\(S_{3}= \dfrac {7}{4}\)证明：数列\(\{S_{n}\}\)是\(Ω\)数列；
              \((3)\)设数列\(\{d_{n}\}\)是各项均为正整数的\(Ω\)数列，求证：\(d_{n}\leqslant d_{n+1}\)．
              难度：难
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            • 5． 数列{an}、{bn}满足：an+bn=2n-1，n∈N*．
              （1）若{an}的前n项和Sn=2n2-n，求{an}、{bn}的通项公式；
              （2）若an=k•2n-1，n∈N*，数列{bn}是单调递减数列，求实数k的取值范围．
              难度：较易
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            • 6． 已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3，求：
              （1）第二项a2；
              （2）通项公式an．
              难度：易
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            • 7． 已知Sn是数列{an}的前n项和，点（n，Sn）满足f（x）=2x+1-k，且S3=14．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）令bn=anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
              难度：较易
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            • 8． 我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
              .
              x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
              ．如：A=
              .
              2(-1)(3)(-2)(1)
              ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
              （1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
              （2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
              1
              1-ak
              ，k∈N*              ，bn=
              .
              2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
              （n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
              （3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
              .
              2(
              C
              1
              n
              )(
              C
              2
              n
              )(
              C
              3
              n
              )…(
              C
              n-1
              n
              )(
              C
              n
              n
              )
              ，求
              lim
              n→∞
              dn
              dn+1
              ．
              难度：较难
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            • 9． 设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和，给出如下两个命题：命题p：{an}是等差数列；命题q：等式
              1
              a1a2
              +
              1
              a2a3
              +…+
              1
              anan+1
              =
              kn+b
              a1an+1
              对任意的n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．
              （1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
              （2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
              （3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{an}满足条件a12+an+12≤M，试求Sn的最大值．
              难度：较难
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            • 10． 已知数列{an}的首项a1=1，且点（an，an+1）在函数f（x）=
              x
              4x+1
              的图象上，bn=
              1
              an
              ．（n∈N*）
              （Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （Ⅱ）设cn=bn-2n，求数列{cn}的前n项和Sn．
              难度：中等
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