知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{7}=15\)，且点\((a_{n},a_{n+1})(n∈N^{*})\)在函数\(y=x+2\)的图象上．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=3^{a_{n}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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2．
如果\(n\)项有穷数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=a_{n}\)，\(a_{2}=a_{n-1}\)，\(…\)，\(a_{n}=a_{1}\)，即\(a_{i}=a_{n-i+1}(i=1,2,…,n)\)，则称有穷数列\(\{a_{n}\}\)为“对称数列”\(.\)例如，由组合数组成的数列\( C_{ n }^{ 0 }, C_{ n }^{ 1 },…, C_{ n }^{ n-1 }, C_{ n }^{ n }\)就是“对称数列”．
\((\)Ⅰ\()\)设数列\(\{b_{n}\}\)是项数为\(7\)的“对称数列”，其中\(b_{1}\)，\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(b_{4}\)成等比数列，且\(b_{2}=3\)，\(b_{5}=1.\)依次写出数列\(\{b_{n}\}\)的每一项；
\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{c_{n}\}\)是项数为\(2k-1(k∈N^{*}\)且\(k\geqslant 2)\)的“对称数列”，且满足\(|c_{n+1}-c_{n}|=2\)，记\(S_{n}\)为数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和；
\((ⅰ)\)若\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(…c_{k}\)是单调递增数列，且\(c_{k}=2017.\)当\(k\)为何值时，\(S_{2k-1}\)取得最大值？
\((ⅱ)\)若\(c_{1}=2018\)，且\(S_{2k-1}=2018\)，求\(k\)的最小值．

难度：中等

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3．
已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，点\(\left( n,{{S}_{n}} \right)\)在函数\(f(x)={{x}^{2}}-2kx(k\in N)\)图象上，当且仅当\(n=4\)时，\({{S}_{n}}\)的值最小．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)令\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}+9}{2}\)，数列\(\{{{b}_{n}}\}\)满足\({{b}_{n}}=\dfrac{{{2}^{{{c}_{n}}}}}{({{2}^{{{c}_{n}}}}-1)({{2}^{{{c}_{n+1}}}}-1)}\)，记数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，若\(2{{m}^{2}}-3m+\dfrac{5}{3}-{{T}_{n}}\leqslant 0\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

难度：难

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4．
若正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，首项\(a_{1}=1\)，\(P\left( \sqrt{{{S}_{n}}},{{S}_{n+1}} \right)\)点在曲线\(y=(x+1)^{2}\)上\(.\)

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{v}}\cdot {{a}_{n+1}}}\)，\(T_{n}\)表示数列\(\{b_{n}\}\)的\(n\)项和，若\(T_{n}\geqslant a\)恒成立，求\(T_{n}\)及实数\(a\)的取值范围．

难度：难

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5．
已知：在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{3a_{n}+1}\)，判断\(\{a_{n}\}\)的单调性．
小明同学给出了如下解答思路，请补全解答过程．
第一步，计算：
根据已知条件，计算出：\(a_{2}=\) ______ ，\(a_{3}=\) ______ ，\(a_{4}=\) ______ ．
第二步，猜想：
数列\(\{a_{n}\}\)是 ______ \((\)填递增、递减\()\)数列．
第三步，证明：
因为\(a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{3a_{n}+1}\)，所以\( \dfrac {1}{a_{n+1}}= \dfrac {3a_{n}+1}{a_{n}}= \dfrac {1}{a_{n}}+\) ______ ．
因此可以判断数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)是首项\( \dfrac {1}{a_{1}}=\) ______ ，公差\(d=\) ______ 的等差数列．
故数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)的通项公式为 ______ ．
且由此可以判断出：
数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)是 ______ \((\)填递增、递减\()\)数列，且各项均为 ______ \((\)填正数、负数或零\()\)．
所以数列\(\{a_{n}\}\)是 ______ \((\)填递增、递减\()\)数列．

难度：较易

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6．

对于无穷数列\(\{{{a}_{n}}\}\)，\(\{{{b}_{n}}\}\)，若\({{b}_{k}}=\max \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}-\min \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}(k=1,2,3,\cdots )\)，则称\(\{{{b}_{n}}\}\)是\(\{{{a}_{n}}\}\)的“收缩数列”\(.\) 其中，\(\max \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}\)，\(\min \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}\)分别表示\({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\)中的最大数和最小数．已知\(\{{{a}_{n}}\}\)为无穷数列，其前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，数列\(\{{{b}_{n}}\}\)是\(\{{{a}_{n}}\}\)的“收缩数列”．
\((\)Ⅰ\()\)若\({{a}_{n}}=2n+1\)，求\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和；
\((\)Ⅱ\()\)证明：\(\{{{b}_{n}}\}\)的“收缩数列”仍是\(\{{{b}_{n}}\}\)；
\((\)Ⅲ\()\)若\({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\cdots +{{S}_{n}}=\dfrac{n(n+1)}{2}{{a}_{1}}+\dfrac{n(n-1)}{2}{{b}_{n}}(n=1,2,3,\cdots )\)，求所有满足该条件的\(\{{{a}_{n}}\}\)．

难度：较难

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7．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=-60\)，\(a_{17}=-12\)．

\((1)\)该数列第几项起为正？

\((2)\)前多少项和最小？求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)的最小值

难度：较难

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8．

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，\(\{b_{n}\}\)为等比数列且各项均为正数，\(b_{1}=1\)，且满足：\(b_{2}+S_{2}=7\)，\(b_{3}+S_{3}=22\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(a_{n}\)与\(b_{n}\)；

\((\)Ⅱ\()\)记\({{c}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n-1}}\cdot {{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}\)，求\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)；

\((\)Ⅲ\()\)若不等式\({{\left( -{1} \right)}^{n}}\cdot m-{{T}_{n}} < \dfrac{n}{{{2}^{n-1}}}\)对一切\(n∈N*\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

难度：较难

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9．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=2n^{2}-3\)，求：

\((1)\)第二项\(a_{2}\)；

\((2)\)通项公式\(a_{n}\)．

难度：较易

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10．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a\)，公差为\(b\)；等比数列\(\{b_{n}\}\)的首项为\(b\)，公比为\(a\)，其中\(a\)，\(b\)均为正整数，且\(a_{1} < b_{1} < a_{2} < b_{2} < a_{3}\)．

\((I)\)求\(a\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)若对于\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，存在\(m\)，\(n∈N^{*}\)，满足\(a_{m}+1=b_{n}\)，求\(b\)的值；

\((\)Ⅲ\()\)对于满足\((\)Ⅱ\()\)的数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，令\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}-8}{{{b}_{n}}}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的最大项．

难度：难

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