知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…A_n（a_n，0），…依次在x轴上，满足a₁=1，a₂=5且
AnAn+1
=
1
2
An-1An
（n=2，3，…）．点B₁（b₁，c₁），B₂（b₂，c₂），…B_n（b_n，c_n），…依次在射线y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），|
OBn
|=|
OBn-1
|+2
2
|（n=2，3，…）
（1）用n表示B_n的坐标；
（2）用n表示A_n的坐标；
（3）设S_n为数列{a_n+b_n}的前n项和，求S_n．

难度：中等

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2．已知向量
a1
=(1，-7)，
d
=(1，1)，对任意n∈N^*都有
an+1
=
an
+
d
．
（1）求|
an
|的最小值；
（2）求正整数m，n，使
am
⊥
an
．

难度：中等

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3．等差数列{a_n}的前n项和是S_n，且a₂=2，S₄=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，若
m
=(4，s 2)，
n
=(4k，-s3)，且
m
∥
n
，求实数k的值．

难度：中等

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4．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=
1
2
+log₂
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有S_n=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N^*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s₂，s₃，s₄及S_n；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N^*，且T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n≤λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的最小正整数值．

难度：较难

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5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=2，S₄=4，等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设
u
=（4，S₂），
v
=（4k，-S₃），若
u
∥
v
，求实数k的值．

难度：中等

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6．对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量集Y={
a
|
a
=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意
a1
∈Y，存在
a2
∈Y，使得
a1
•
a2
=0，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁=1；
（3）若X具有性质P，且x₁=1、x₂=q（q为常数），求有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式．

难度：较难

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7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若
OA
=a₁
OB
+a₂₀₁₂
OC
且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S₂₀₁₂= ．

难度：中等

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8．记数列{a_n}的前n项和为S_n．已知向量
a
=(cos
nπ
3
+sin
nπ
3
，1)（n∈N^*）和
b
=(an，cos
nπ
3
-sin
nπ
3
)（n∈N^*）满足
a
∥
b
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S_3n；
（3）设bn=2nan，求数列{b_n}的前n项的和为T_n．

难度：中等

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9．设函数f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（-
π
2
，0），求tan2x；
（2）设△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，试求f（B）的取值范围．

难度：中等

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10．设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且
MN
=2
MP
，
PM
⊥
PF
．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上的点，且|
AF
|，|
BF
|，|
DF
|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

难度：较难

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