知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}+a_{2}=10\)，\(a_{4}-a_{3}=2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设等比数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{2}=a_{3}\)，\(b_{3}=a_{7}\)，问：\(b_{6}\)与数列\(\{a_{n}\}\)的第几项相等？

难度：较易

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2．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a\)，公差为\(b\)，等比数列\(\{b_{n}\}\)的首项为\(b\)，公比为\(a\)．
\((\)Ⅰ\()\)若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=-n^{2}+3n\)，求\(a\)，\(b\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若\(a∈N^{+}\)，\(b∈N^{+}\)，且\(a < b < a_{2} < b_{2} < a_{3}\)．
\((i)\)求\(a\)的值；
\((ii)\)对于数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)，满足关系式\(a_{n}+k=b_{n}\)，\(k\)为常数，且\(k∈N^{+}\)，求\(b\)的最大值．

难度：较易

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3．
已知数列\(\{a_{n}\}\)是公比为\( \dfrac {1}{3}\)的等比数列，且\(a_{2}+6\)是\(a_{1}\)和\(a_{3}\)的等差中项．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项之积为\(T_{n}\)，求\(T_{n}\)的最大值．

难度：较易

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4．
数列\(A_{n}\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}(n\geqslant 4)\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=m\)，\(a_{k+1}-a_{k}=0\)或\(1(k=1,2,…,n-1).\)对任意\(i\)，\(j\)，都存在\(s\)，\(t\)，使得\(a_{i}+a_{j}=a_{s}+a_{t}\)，其中\(i\)，\(j\)，\(s\)，\(t∈\{1,2,…,n\}\)且两两不相等．
\((\)Ⅰ\()\)若\(m=2\)，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
\(①1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)；\(②1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)；\(③1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)
\((\)Ⅱ\()\)记\(S=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}.\)若\(m=3\)，证明：\(S\geqslant 20\)；
\((\)Ⅲ\()\)若\(m=2018\)，求\(n\)的最小值．

难度：中等

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5．
设同时满足条件：\(①b_{n}+b_{n+2}\geqslant 2b_{n+1}\)；\(②b_{n}\leqslant M(n∈N^{*},M\)是常数\()\)的无穷数列\(\{b_{n}\}\)叫“欧拉”数列\(.\)已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\((a-1)S_{n}=a(a_{n}-1)(a\)为常数，且\(a\neq 0\)，\(a\neq 1)\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {S_{n}}{a_{n}}+1\)，若数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，求\(a\)的值，并证明数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}}\}\)为“欧拉”数列．

难度：较易

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6．
已知\(\{a_{n}\}\)是等比数列，满足\(a_{1}=3\)，\(a_{4}=24\)，数列\(\{a_{n}+b_{n}\}\)是首项为\(4\)，公差为\(1\)的等差数列．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和．

难度：较易

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7．
已知集合\(P=\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\}\)，其中\(a_{i}∈R(1\leqslant i\leqslant n,n > 2).M(P)\)表示\(a_{i}+a_{j}(1\leqslant i < j\leqslant n)\)中所有不同值的个数．
\((\)Ⅰ\()\)若集合\(P=\{1,3,5,7,9\}\)，求\(M(P)\)；
\((\)Ⅱ\()\)若集合\(P=\{1,4,16,…,4^{n-1}\}\)，求证：\(a_{i}+a_{j}\)的值两两不同，并求\(M(P)\)；
\((\)Ⅲ\()\)求\(M(P)\)的最小值\(.(\)用含\(n\)的代数式表示\()\)

难度：难

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8．
已知各项都为整数的等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(S_{5}=35\)，且\(a_{2}\)，\(a_{3}+1\)，\(a_{6}\)成等比数列．
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {a_{n}}{3^{n}}\)，且数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < \dfrac {5}{4}\)．

难度：较易

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9．
已知\(\{a_{n}\}\)是等比数列，满足\(a_{1}=2\)，且\(a_{2}\)，\(a_{3}+2\)，\(a_{4}\)成等差数列．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=2na_{n}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(g(n)= \dfrac {2n^{2}-9n+7}{S_{n}-4}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)，求正整数\(k\)的值，使得对任意\(n\geqslant 2\)均有\(g(k)\geqslant g(n)\)．

难度：较易

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10．
已知数列\(A\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}(n\geqslant 2)\)满足\(a_{i}∈N^{*}\)且\(1\leqslant a_{i}\leqslant i(i=1,2,…,n)\)，数列\(B\)：\(b_{1}\)，\(b_{2}\)，\(…\)，\(b_{n}(n\geqslant 2)\)满足\(b_{i}=τ(a_{i})+1(i=1,2,…,n)\)，其中\(τ(a_{1})=0\)，\(τ(a_{i})(i=1,2,…,n)\)表示\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{i-1}\)中与\(a_{i}\)不相等的项的个数．
\((\)Ⅰ\()\)数列\(A\)：\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，请直接写出数列\(B\)；
\((\)Ⅱ\()\)证明：\(b_{i}\geqslant a_{i}(i=1,2,…,n)\)
\((\)Ⅲ\()\)若数列\(A\)相邻两项均不相等，且\(B\)与\(A\)为同一个数列，证明：\(a_{i}=i(i=1,2,…,n)\)．

难度：中等

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