知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且2a_n+S_n=An²+Bn+C．
（1）当A=B=0，C=1时，求a_n；
（2）若数列{a_n}为等差数列，且A=1，C=-2．
①设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和；
②设c_n=
Tn-6
4n
，若不等式c_n≥
m
8
对任意n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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2．已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求数列{
an
2n-1
}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且c为斜边的长．
（1）若a，b，c成等比数列，且a=2，求c的值；
（2）已知a，b，c均为正整数．
（i）若a，b，c是三个连续的整数，求三角形ABC的面积；
（ii）若a，b，c成等差数列，将这些三角形的面积从小到大排成一列，记第n个为S_n，且T_n=-S 1+S2-S3+…+(-1)nSn，求满足不等式|T_n|＞3•2ⁿ的所有n的值．

难度：中等

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4．若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=9，且a_n+1=a

2
n
+2a_n，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n．
（Ⅲ）在（2）的条件下，记b_n=
lgTn
lg(an+1)
，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求使S_n＞4030的n的最小值．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•2^-n，T_n为数列{b_n}的前n项和．
①求T_n的表达式；
②求使T_n＞2的n的取值范围．

难度：中等

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6．已知各项均为正整数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n-1+ka_n=ta_n²-1，n≥2，n∈N^*（其中k，t为常数）．
（1）若k=
1
2
，t=
1
4
，数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；
（2）若数列{a_n}是等比数列，求证：k＜t．

难度：较难

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7．等差数列{a_n}中，S_n为它的前n项和，且S₁₀＜S₁₁，S₁₁＞S₁₂，则：①此数列的公差d＜0； ②S₁₂一定大于S₇； ③a₁₁是各项中最大的一项； ④S₁₁一定是S_n的最大项，其中正确命题的序号是．

难度：中等

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