知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，其前n项和为S_n，若S₉=99，且a₄，a₇，a₁₂成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，证明：Tn＜
3
4
．

难度：中等

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2．设数列{a_n}的所有项都是正数，前n项和为S_n，已知点P_n（a_n，S_n）（n∈N⁺）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）已知a₁+a₆=66，a₂a₅=128，求b的值．

难度：中等

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3．当n≥2，n∈N^*时，设f（n）=（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）•…•（1-
1
n2
）．
（Ⅰ）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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4．已知等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，且数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）若a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₆+5b₂-2016，求整数q的值；
（2）若S_n+1-2S_n=2，试问数列{b_n}中是否存在一点b_k，使得b_k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），证明数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项．

难度：较难

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5．设数列{a_n}满足a1=2，an+1=
a
2
n
-nan+1，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（ 1）猜想a_n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，Sn=n2-7n (n∈N*)．
（1）求数列{a_n}通项公式，并证明{a_n}为等差数列．
（2）求当n为多大时，S_n取得最小值．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=
1
2an+1
（n∈N^*）．
（1）证明：数列{|a_n-
1
2
|}为单调递减数列；
（2）记S_n为数列{|a_n+1-a_n|}的前n项和，证明：S_n＜
5
3
（n∈N^*）．

难度：较难

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8．对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q（p≠0）对于任意的n∈N^*都成立，我们称这个数列{c_n}是“M类数列”．
（1）若a_n=2n，b_n=3.2ⁿ，n∈N^*，判断数列{a_n}，{b_n}是否为“M类数列”，并说明理由；
（2）若数列{a_n}是“M类数列”，则数列{a_n+a_n+1}、{a_n•a_n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；
（3）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=3.2ⁿ（n∈N^*），设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的表达式，并判断{a_n}是否是“M类数列”．

难度：中等

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9．已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：
Sn+1
Sn
≤
3n+1
n
．

难度：较难

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