知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知A、B、C三点坐标分别为（-1，0），（3，-1），（1，2），
AE
=
1
3
AC
，
BF
=
1
3
BC

（1）求点E、F及向量
EF
的坐标；
（2）求证：
EF
∥
AB
．

难度：中等

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2．已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=m
a
，
OQ
=n
b
，求证：
1
m
+
1
n
=3．

难度：中等

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3．已知向量
a
，
b
不共线，t为实数．
（Ⅰ）若
OA
=
a
，
OB
=t
b
，
OC
=
1
3
（
a
+
b
），当t为何值时，A，B，C三点共线；
（Ⅱ）若|
a
|=|
b
|=1，且
a
与
b
的夹角为120°，实数x∈[-1，
1
2
]，求|
a
-x
b
|的取值范围．

难度：中等

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4．已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），且
a
，
b
满足关系|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|（k为正数）．
（1）求
a
与
b
的数量积用k表示的解析式f（k）．
（2）
a
能否与
b
垂直？
a
能否与
b
平行？若不能，说明理由；若能，求出相应的k值．

难度：中等

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5． △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
m
=（2a，ccosB+bcosC），
n
=（1，cosB）且
m
∥
n
．
（1）求B的值；
（2）当△ABC的面积为4
3
时，求b的最小值．

难度：中等

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6．设
a
，
b
是不共线的两个非零向量．
（2）若
OA
=2
a
-
b
，
OB
=3
a
+
b
，
OC
=
a
-3
b
，求证：A，B，C三点共线；
（2）若
a
=（-1，1），
b
=（2，1），t∈R，|
a
+t
b
|的最小值．

难度：中等

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7．已知向量
a
=（1，sinθ），
b
=（2，1）．
（1）当θ=
π
6
时，求向量2
a
+
b
的坐标；
（2）若
a
∥
b
，且θ∈（0，
π
2
），求sin（θ+
π
4
）的值．

难度：较易

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8．在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a，b，c，已知
m
=（2cos
C
2
，sinC），
n
=（2sinC，cos
C
2
），且
m
∥
n
．
（1）求角C的大小；
（2）若a²=3b²+c²，求tanA的值．

难度：中等

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9．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
AB
=（S_n，
1
4
-a_n），其中n∈N^*，
CD
=（1，-
1
2
），且满足
AB
∥
CD
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列对任意的n∈N^*都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂+b_na₁=2ⁿ-
n
2
-1，求数列{b_n}的通项公式．

难度：较难

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10．已知可由数列{a_n}构造一列向量：
βn
=（2a_n，a_n+1-2ⁿ⁺¹），n∈Z₊．又向量
m
=（1，3），
p
=（3a₁，7-a₂），且向量
m
与
p
垂直，以及向量
m
与
βn
平行（n∈Z₊）．
（1）试确定a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：较难

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