知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•上海二模）已知正四面体A₁A₂A₃A₄，点A₅，A₆，A₇，A₈，A₉，A₁₀分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤10，1≤j≤10，且i≠j时，数量积
A1A2
•
AiAj
的不同数值的个数为．

难度：中等

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2．已知点G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，若
AP
=λ
AB
，
AQ
=μ
AC
．证明：
1
λ
+
1
μ
为常数．

难度：中等

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3．（1）求证：对任何实数k，x²+y²-2kx-（2k+6）y-2k-31=0恒过两定点，并求经过该两定点且面积最小的圆E的方程；
（2）若PA，PB为（1）中所求圆E的两条切线，A、B为切点，求
PA
•
PB
的最小值．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x₀∈（a，b），使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′(x0)”成立．
（1）利用这个性质证明x₀唯一；
（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

难度：较难

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5．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，且F₂（1，0），O为坐标原点，点M（
2
3
，
2
6
3
）为椭圆C上的点．
（1）求C的方程：
（2）平面上的点N满足
MN
=
MF1
+
MF2
，直线1平行于MN且与椭圆C交于A、B两点，若
OA
•
OB
=0，求直线l的方程．

难度：中等

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6．已知△ABC内接于圆O：x²+y²=1（O为坐标原点），且3
OA
+4
OB
+5
OC
=0，
（1）求△AOC的面积；
（2）若∠xOA=-
π
4
，设以射线Ox为始边，射线OC为终边所形成的角为θ，判断θ的取值范围．
（3）在（2）的条件下，求C点的坐标．

难度：中等

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7．已知向量
a
=（-
1
2
，
3
2
），
OA
=
a
-
b
，
OB
=
a
+
b
，若△OAB是等边三角形，则△OAB的面积为．

难度：较易

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8．若非零向量
n
⊥直线l，则称
n
为l的法向量．
（I）已知直线l过点P₀（x₀，y_0），法向量
n
=（A，B），C=-（Ax₀+By₀），求1的方程；
（Ⅱ）已知点P₀（x₀，y₀）在圆（x-a）²+（y-b）²=r²上，证明：过点P₀与该圆相切的切线方程为（x₀-a）（x-a）+（y₀-b）（y-b）=r²．

难度：中等

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9．已知在△ABC中，存在唯一的点G，使得若
GA
+
GB
+
GC
=
0
，这个点G是△ABC的重心，那么在四边形ABCD中，是否存在唯一的点P，使得
PA
+
PB
+
PC
+
PD
=
0
？若存在，请证明，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．已知二次函数y=
1
3
x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（-1，0），C（0，-1），点Q在y轴上，点P在抛物线上，若PQAC为顶点的四边形平行四边形，请直接写P点坐标．

难度：中等

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