知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+b
（1）若b=-1，函数y=f（x）在x∈[2，3]上有一个零点，求a的取值范围
（2）若a=b，且∀a∈[2，3]都有f（x）＜0成立，求x的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知a∈R，函数f（x）=x²-2ax+1．
（Ⅰ）若a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值m（a）；
（Ⅱ）记g（x）=f（x）+|x-a|，若g（x）在[1，2]上恰有一个零点，求a的取值范围．

难度：较难

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4．设幂函数f（x）=（a-1）x^k（a∈R，k∈Q）的图象过点(
2
，2)．
（1）求k，a的值；
（2）若函数h（x）=-f（x）+2b
f(x)
+1-b在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．

难度：中等

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5．设二次函数y=f（x）的最大值为9，且f（3）=f（-1）=5，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，4]上的最值．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=ax²+bx-2b
（1）a=b＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当a=1时，若对任意的x∈（-∞，2），不等式f（x）≥1恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若|f（-1）|≤1，|f（1）|≤3，求|a|+|b+2|的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=x²+4x+4
（Ⅰ）若x∈[-4，a]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）定义在[a，b]上的函数f（x），g（x）如果满足，对任意x∈[a，b]，都有f（x）≤g（x）成立，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的弱函数，已知f（x+a）是g（x）=4x在x∈[1，t]上的弱函数，求实数a的最大值．

难度：较难

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8．如图，二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标（0，8），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的封闭图形内．
（I）求二次函数f（x）的解析式；
（II）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（III）是否存在这样的矩形ABCD，使它的面积为8？试证明你的结论．

难度：中等

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9．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点M（x，y），且点M在x轴的下方，
（1）求证：f（x）的图象与x轴交于不同的两点；
（2）设f（x）的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），求证：x介于x₁，x₂之间．

难度：中等

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