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          共50条信息

            • 1． 如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=
              1
              3
              AC，AE=
              2
              3
              AB，BD，CE相交于点F．
              （Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；
              （Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．
              难度：较难
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            • 2． 设函数f（x）=ex-x-1，g（x）=e2x-x-7．
              （1）解不等式f（x）≤g（x）；
              （2）事实上：对于∀x∈R，有f（x）≥0成立，当且仅当x=0时取等号．由此结论证明：(1+
              1
              x
              )x              ＜e，（x＞0）．
              难度：较难
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            • 3． 已知函数f（x）=
              1+lnx
              x

              （Ⅰ）若k＞0且函数在区间(k，k+
              3
              4
              )              上存在极值，求实数k的取值范围；
              （Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f(x)≥
              a
              x+2
              恒成立，求实数a的取值范围；
              （Ⅲ）求证：n≥2，（2•3-2）（3•4-2）…[n（n+1）-2][（n+1）（n+2）-2]＞e2n-3．
              难度：较难
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            • 4． M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
              （Ⅰ）试判断函数f1（x）=log2（x+1），f2(x)=2x-1是否属于M？
              （Ⅱ）证明：对于任意的x＞0，x+m＞0（m∈R且m≠0）都有m[f（x+m）-f（x）]＞0；
              （Ⅲ）证明：对于任意给定的正数s＞1，存在正数t，当0＜x≤t时，f（x）＜s．
              难度：较难
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            • 5． 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
              （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
              （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
              （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
              （4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos48°
              （5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos55°
              （Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
              （Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
              难度：中等
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            • 6． 本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足bn=
              a1+2a2+3a3+…+nan
              1+2+3+…+n
              ．★（参考公式1+22+32+…+n2=
              n(n+1)(2n+1)
              6
              ）
              求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
              难度：较难
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            • 7． 已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）
              （1）若方程f（x）=0无实根，求证：b＞0；
              （2）若方程f（x）=0有两个实根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f（-a）=
              1
              4
              （a2-1）．
              难度：中等
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            • 8． 在△ABC中，BD：DC=2：1，AE：EC=1：3，求OB：OE．
              难度：中等
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            • 9． 如图所示，直线m∥n，AB⊥m，∠ABC=130°，那么∠α为    ．
              难度：较易
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            • 10． 设a＞1，n∈N，若不等式
              na
              -1＜
              a-1
              n
              恒成立时，n的最小值为    ．
              难度：较难
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