知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，函数\(f\left( x \right)=\left| x-a \right|+\left| x+b \right|\)的最小值为\(2\)．

\((1)\)求\(a+b\)的值；\((2)\)证明：\({{a}^{2}}+a > 2\)与\({{b}^{2}}+b > 2\)不可能同时成立．

难度：难

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2．已知函数\(f(x)=x^{3}-x^{2}\)，\(x∈R\)
\((1)\)若正数\(m\)，\(n\)满足\(m⋅n > 1\)，证明：\(f(m)\)，\(f(n)\)至少有一个不小于零；
\((2)\)若\(a\)，\(b\)为不相等的正实数且满足\(f(a)=f(b)\)，求证\(a+b < \dfrac {4}{3}\)．

难度：难

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3．
已知函数\(f(x)=a^{x}+ \dfrac {x-2}{x+1}(a > 1)\)，求证：
\((1)\)函数\(f(x)\)在\((-1,+∞)\)上为增函数；
\((2)\)方程\(f(x)=0\)没有负数根．

难度：难

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4．
设\(x\)，\(y\)都是正数，且\(x+y > 2.\)证明：\( \dfrac {1+x}{y} < 2\)和\( \dfrac {1+y}{x} < 2\)中至少有一个成立．

难度：难

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5．
已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}+ \dfrac {1}{2}\)，\(b=2-x\)，\(c=x^{2}-x+1\)，试证明\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个不小于\(1\)．

难度：难

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6．
\((1)\)求证：当\(a\)、\(b\)、\(c\)为正数时，\((a+b+c)( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}+ \dfrac {1}{c})\geqslant 9\)
\((2)\)已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-1\)，\(b=2x+2\)，求证\(a\)，\(b\)中至少有一个不少于\(0\)．

难度：难

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7．
用反证法证明：当\(m\)为任何实数时，关于\(x\)的方程\(x^{2}-5x+m=0\)与\(2x^{2}+x+6-m=0\)至少有一个方程有实数根．

难度：难

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8．
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是互不相等的实数，求证：由\(y=ax^{2}+2bx+c\)，\(y=bx^{2}+2cx+a\)，\(y=cx^{2}+2ax+b\)确定的三条抛物线至少有一条与\(x\)轴有两个不同的交点．

难度：难

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9．
用反证法证明：\( \sqrt {7}\)是无理数．

难度：较易

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10．

若\({{a}_{1}} > 0,{{a}_{1}}\ne 1,{{a}_{n+1}}=\dfrac{2{{a}_{n}}}{1+{{a}_{n}}}(n=1,2,\ldots )\)

\(①\)求证：\({{a}_{n+1}}\ne {{a}_{n}}\)

\(②\)令\({a}_{1}= \dfrac{1}{2},写出{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4} \)的值并归纳出通项公式

难度：较难

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