知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．观察以下不等式：
①1+
1
22
＜
3
2
；
②1+
1
22
+
1
32
＜
5
3
；
③1+
1
22
+
1
32
+
1
42
＜
7
4
，
则第六个不等式是．

难度：中等

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2．已知：
1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
；
1×2+2×3+…+n(n+1)=
n(n+1)(n+2)
3
；
1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
，
利用上述结果，计算：1³+2³+3³+…+n³= ．

难度：中等

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3．数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=
bn
1+2bn

（1）求b₂、b₃、b₄并猜想数列{b_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
（3）设c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n} 的前n项和T_n．

难度：中等

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4． “设RT△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是“设三棱锥A-BCD中三边AB、AC、AD两两互相垂直，则 ”．

难度：较易

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5．在圆x²+y²=r²中，AB为直径，C为圆上异于A、B的任意一点，则有k_AC•k_BC=-1．用类比的方法，对于椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），也能得出类似的结论：若设A为椭圆上的任意一点，点A关于椭圆中心的对称点为B，点C为椭圆上异于A、B的任意一点，则k_AC•k_BC= ．

难度：较难

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6．若三角形周长为l，内切圆半径为r，则三角形的面积为s=
1
2
lr，根据类比思想，若四面体的表面积为S，内切球半径为R，则这个四面体的体积为．

难度：中等

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7．在△ABC中，D为BC的中点，则
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
）将命题类比到空间：在三棱锥A-BCD中，G为△BCD的重心，则．

难度：较难

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8．已知一元二次方程根与系数的关系如下：设x₁，x₂是关于x方程x²+bx+c=0的根，则x₁+x₂=-b，x₁•x₂=c．
（Ⅰ）若x₁，x₂，x₃是一元三次方程（x-1）（x²-3x-4）=0的根，求x₁+x₂+x₃和x₁•x₂•x₃的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂，x₃是一元三次方程x³+bx²+cx+d=0的根，类比一元二次方程根与系数的关系，猜想x₁+x₂+x₃和x₁•x₂•x₃与系数的关系，并加以证明．

难度：中等

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9．在Rt△ABC中，若C为直角，则有 cos²A+cos²B=1；类比到三棱锥P-ABC中，若三个侧面PAB、PBC、PAC两两垂直，且分别与底面所成的角为α、β、γ，则有．

难度：中等

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10．（1）数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用分析法证明：若a＞0，则
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

难度：中等

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