知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC-cos（A+C）=sin²B．
（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S_△BAD=2S_△BCD，求BD．

难度：中等

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2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若C=2B，求证：cosA=3cosB-4cos³B；
（Ⅱ）若bsinB-csinC=a，且△ABC的面积S=
b2+c2-a2
4
，求角B．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=
3
2
sin2x-cos²x-
1
2
，（x∈R）
（1）当x∈[-
π
12
，
5π
12
]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=
3
，f（C）=0，若向量
m
=（1，sinA）与向量
n
=（2，sinB）共线，求a，b的值．

难度：中等

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4．已知x∈R，设
m
=(2cosx ， sinx+cosx)，
n
=(
3
sinx ， sinx-cosx)，记函数f(x)=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，c=
3
，求△ABC的面积S的最大值．

难度：中等

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5．如图，平面α内一椭圆C：
x2
4
+y²=1，F₁、F₂分别是其焦点，P为椭圆C上的点，已知AF₁⊥α，BF₂⊥α，|AF₁|=|BF₂|=1，直线PA、PB和平面α所成角分别为θ、φ．
（1）求证：cotθ+cotφ=4；
（2）若θ+φ=
π
2
，求直线PA与PB所成角的大小．

难度：中等

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6． △ABC中，角A、B、C成等差数列．
①如果a，c是方程x²-8x+12=0两根，求b和三角形的面积．
②如果b=
3
，求c+2a的最大值．

难度：中等

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7．在△ABC中，角A、B、C与边a，b，c满足asinAsinB+bcos²A=
2
a．
（1）求
b
a
的值；
（2）若c=2，且△ABC面积为2
2
，求边长a．

难度：中等

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8．在△ABC中，a，b，c成等比数列．
（1）若
1
tanA
+
1
tanC
=
2
3
3
，求∠B值；
（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．

难度：中等

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9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，c是一元二次方程x²-7x+10=0的两根，且a＜b＜c，△ABC的面积为4．
（1）求a，b，c的值；
（2）求sinC的值．

难度：中等

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