知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间 $%5B-%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D%EF%BC%8C-%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B12%7D%C2%A0%5D$ 上的最大值与最小值的和．

难度：较易

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2．
扇形$AOB$的中心角为$2θ$，$θ∈(0, \dfrac {π}{2})$，半径为$r$，在扇形$AOB$中作内切圆$O_{1}$与圆$O_{1}$外切，与$OA$，$OB$相切的圆$O_{2}$，问$\sin θ$为何值时，圆$O_{2}$的面积最大？最大值是多少？

难度：较易

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3．
将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
$(1)780^{\circ}$，$(2)-1560^{\circ}$，$(3)67.5^{\circ}(4)- \dfrac {10}{3}π$，$(5) \dfrac {π}{12}$，$(6) \dfrac {7π}{4}$．

难度：较易

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4．
已知扇形的圆心角为$\alpha $，所在圆的半径为$r$．

$(1)$若$\alpha ={{120}^{0}}$，$r=6$，求扇形的弧长．

$(2)$若扇形的周长为$24$，当$\alpha $为多少弧度时，该扇形面积$S$最大，最大值是多少？

难度：较难

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5．（2016春•扬州校级期中）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，BC=4，现要将此铁皮剪出一个△PMN，其中边MN⊥BC，点P在曲线MAB上运动．
（1）设∠MOD=30°，若PM=PN，求△PMN的面积；
（2）求剪下的铁皮△PMN面积的最大值．

难度：中等

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6．（2016春•南京期中）如图，扇形AOB是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB的大小等于
π
3
，半径OA=200m，点M在半径OA上，点N在
AB
上，且MN∥OB，求观光道路OM与MN长度之和的最大值．

难度：中等

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7．（2016•南通一模）如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O₁为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．
（1）按下列要求建立函数关系：
①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；
②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．

难度：中等

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8．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB=
π
4
，记该设施平面图的面积为S（x）m²，∠AOB=xrad，其中
π
2
＜x＜π．
（1）写出S（x）关于x的函数关系式；
（2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？

难度：较难

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9．如图，两同心圆（圆心在原点）分别与OA、OB交于A、B两点，其中A（
2
，1），|OB|=
6
，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为
π
2
．
（1）设角θ的始边为x轴的正半轴，终边为OA，求
tan(π-θ)cos(θ+
3π
2
)
sin(2θ-π)
的值；
（2）求点B的坐标．

难度：中等

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10．已知在半径为8的圆O中，弦AB的长为8．
（1）求弦AB所对的圆心角α（0＜α＜π）的大小．
（2）求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S．

难度：中等

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