知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．

难度：中等

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2．
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： $%7BK%7D%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7Bn%7B%28ad%E2%88%92bc%29%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

难度：较易

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3．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额
支付方式不大于2000元大于2000元

仅使用A 27人 3人

仅使用B 24人 1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

难度：较易

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4．

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	$140$	$50$	$300$	$200$	$800$	$510$
好评率	$0.4$	$0.2$	$0.15$	$0.25$	$0.2$	$0.1$

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
$($Ⅰ$)$从电影公司收集的电影中随机选取$1$部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
$($Ⅱ$)$随机选取$1$部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
$($Ⅲ$)$电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化$.$假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加$0.1$，哪类电影的好评率减少$0.1$，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？$($只需写出结论$)$

难度：易

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5．
某公司了解用户对其产品满意度，从$A$，$B$两地区分别随机调查了$20$个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

$(1)$根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度$($不要求计算出具体值，给出结论即可$)$；

$(2)$根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件$C$：“$A$地区用户的满意度等级高于$B$地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件的概率，求$C$的概率。

难度：较易

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6．

某险种的基本保费为$a($单位：元$)$，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

保费

$0.85a$

$a$

$1.25a$

$1.5a$

$1.75a$

$2a$

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

概率

$0.30$

$0.15$

$0.20$

$0.20$

$0.10$

$0. 05$

$(I)$求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

$(II)$若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出$60\%$的概率；

$(III)$求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

难度：较难

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7．
某旅游爱好者计划从$3$个亚洲国家$A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$和$3$个欧洲国家$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$中选择$2$个国家去旅游．
$($Ⅰ$)$若从这$6$个国家中任选$2$个，求这$2$个国家都是亚洲国家的概率；
$($Ⅱ$)$若从亚洲国家和欧洲国家中各任选$1$个，求这$2$个国家包括$A_{1}$但不包括$B_{1}$的概率．

难度：较易

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8．
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶$4$元，售价每瓶$6$元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶$2$元的价格当天全部处理完$.$根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温$($单位：$℃)$有关$.$如果最高气温不低于$25$，需求量为$500$瓶；如果最高气温位于区间$[20,25)$，需求量为$300$瓶；如果最高气温低于$20$，需求量为$200$瓶$.$为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 $[10,15)$ $[15,20)$ $[20,25)$ $[25,30)$ $[30,35)$ $[35,40)$

天数 $2$ $16$ $36$ $25$ $7$ $4$

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
$(1)$求六月份这种酸奶一天的需求量不超过$300$瓶的概率；
$(2)$设六月份一天销售这种酸奶的利润为$Y($单位：元$)$，当六月份这种酸奶一天的进货量为$450$瓶时，写出$Y$的所有可能值，并估计$Y$大于零的概率．

难度：中等

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9．

$A$，$B$，$C$三个班共有$100$名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表$($单位：小时$)$：

$A$班	$6$ $6.5$ $7$ $7.5$ $8$
$B$班	$6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$
$C$班	$3$ $4.5$ $6$ $7.5$ $9$ $10.5$ $12$ $13.5$

$($Ⅰ$)$试估计$C$班的学生人数；
$($Ⅱ$)$从$A$班和$C$班抽出的学生中，各随机选取一个人，$A$班选出的人记为甲，$C$班选出的人记为乙$.$假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
$($Ⅲ$)$再从$A$，$B$，$C$三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是$7$，$9$，$8.25($单位：小时$)$，这$3$个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为$μ_{1}$，表格中数据的平均数记为$μ_{0}$，试判断$μ_{0}$和$μ_{1}$的大小$.($结论不要求证明$)$

难度：较易

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电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	\(140\)	\(50\)	\(300\)	\(200\)	\(800\)	\(510\)
好评率	\(0.4\)	\(0.2\)	\(0.15\)	\(0.25\)	\(0.2\)	\(0.1\)

上年度出险次数	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
保费	\(0.85a\)	\(a\)	\(1.25a\)	\(1.5a\)	\(1.75a\)	\(2a\)

一年内出险次数	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
概率	\(0.30\)	\(0.15\)	\(0.20\)	\(0.20\)	\(0.10\)	\(0. 05\)

最高气温	\([10,15)\)	\([15,20)\)	\([20,25)\)	\([25,30)\)	\([30,35)\)	\([35,40)\)
天数	\(2\)	\(16\)	\(36\)	\(25\)	\(7\)	\(4\)

\(A\)班	\(6\) \(6.5\) \(7\) \(7.5\) \(8\)
\(B\)班	\(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\)
\(C\)班	\(3\) \(4.5\) \(6\) \(7.5\) \(9\) \(10.5\) \(12\) \(13.5\)

支付金额支付方式	不大于2000元	大于2000元
仅使用A	27人	3人
仅使用B	24人	1人

	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828