知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
晋级成功晋级失败合计
男 16
女 50
合计
（参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d）
P（K²≥k） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．

难度：较易

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2．某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：

年龄段	18-24岁	25-49岁	50-64岁	65岁及以上
频数	35	20	25	20
支持脱欧的人数	10	10	15	15

（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；

	年龄低于50岁的人数	年龄不低于50岁的人数	合计
支持“脱欧”人数
不支持“脱欧”人数
合计

附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（K²≥k₀）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
K₀	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18-64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18-24岁的概率．

难度：难

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3．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）估计该次考试的平均分 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ （同一组中的数据用该组的区间中点值代表）；
（Ⅲ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
晋级成功晋级失败合计
男 16
女 50
合计
（参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d）
P（K²≥k） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

难度：易

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4．从某地区一次中学生知识竞赛中，随机抽取了30名学生的成绩，绘成如图所示的2×2列联表：
优秀一般合计
男生 7 6
女生 5 12
合计
（1）试问有没有90%的把握认为优秀一般与性别有关；
（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机抽取3人，用ξ表示所选3人中优秀的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望，. $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28a%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
独立性检验临界表：
P（K²≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828

难度：易

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5．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳不喜欢游泳合计
男生 10
女生 20
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D$ ．
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．
下面的临界值表仅供参考：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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6．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据女性频率直方图估计女性使用微信的平均时间；
（Ⅱ）若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，
请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
微信控非微信控合计
男性 50
女性 50
合计 100
参考公式：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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7．某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调查，得到了如下表所示的统计结果：
运动时间不超过2小时运动时间超过2小时合计
男生 10 20 30
女生 13 7 20
合计 23 27 50
（1）根据统计结果，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关？
（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
P（K²≥k₀） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83

难度：中等

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8．

某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间，对[25，55]岁的人群随机抽取了100人进行调查，得到各年龄段人数频率分布直方图．同时对这100人是否参加“商品抢购”进行统计，结果如下表：
（1）求统计表中a和p的值；
（2）从年龄落在（40，50]内的参加“商品抢购”的人群中，采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查，在抽取的6人中，有随机的2人感到“满意”，设感到“满意”的2人中年龄在（40，45]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．
（3）通过有没有95%的把握认为，进行“商品抢购”与“年龄低于40岁”有关？说明你的理由．

组数	分组	抢购商品的人数	占本组的频率
第一组	[25，30）	12	0.6
第二组	[30，35）	18	p
第三组	[35，40）	10	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	3	0.3
第六组	[50，55）	1	0.2

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（χ²≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

难度：中等

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9．目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行．某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 6 9 6 3 4
（1）若从年龄在[15，25）、[25，35）的被调查者中随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X，求X的分布列和期望；
（2）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联．
态度
年龄赞成不赞成总计
中青年
中老年
总计
参考公式和数据：x²=
n(ad-bc)2
(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)

X² ≤2.706 ＞2.706 ＞3.841 ＞6.635
A、B关联性无关联 90% 95% 99%

难度：中等

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10．目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行．某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 6 9 6 3 4
（1）若从年龄在[55，65）的被调查者中随机选取2人进行跟踪调查，求恰有1名不赞成“车辆限行”的概率；
（2）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联．
态度
年龄赞成不赞成总计
中青年
中老年
总计
参考公式和数据：x²=
n(ad-bc)2
(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)

X² ≤2.706 ＞2.706 ＞3.841 ＞6.635
A、B关联性无关联 90% 95% 99%

难度：中等

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0/40

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P（K²≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

	运动时间不超过2小时	运动时间超过2小时	合计
男生	10	20	30
女生	13	7	20
合计	23	27	50

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.84	5.024	6.635	7.879	10.83

年龄（岁）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	6	9	6	3	4

X²	≤2.706	＞2.706	＞3.841	＞6.635
A、B关联性	无关联	90%	95%	99%

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16
女			50
合计

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16
女			50
合计

	微信控	非微信控	合计
男性			50
女性			50
合计			100

态度年龄	赞成	不赞成	总计
中青年
中老年
总计