知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设（x+2）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N*，n≥2），且a₀，a₁，a₂成等差数列．
（1）求（x+2）ⁿ展开式的中间项；
（2）求（x+2）ⁿ展开式所有含x奇次幂的系数和．

难度：中等

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2．已知a=﹣2 $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）dx，求二项式（x²+ $\text{[math]}$ ）⁵的展开式中x的系数及展开式中各项系数之和．

难度：中等

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3．已知 $\text{[math]}$ 的展开式中，某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的 $\text{[math]}$ 倍，求该展开式中二项式系数最大的项．

难度：中等

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4．（
x
+
1
x
）ⁿ的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求二项式系数最大的项．

难度：较易

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5．求(
5
2x
-
2
5
3 x2
)n的展开式中的常数项，其中n是77⁷⁷-10除以19的余数．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}是等差数列，（1+
x
2
）^m（m∈N^*）展开式的前三项的系数分别为a₁，a₂，a₃．
（1）求（1+
x
2
）^m（m∈N^*）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）当n≥2（n∈N^*）时，试猜测
1
an
+
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
an2
与
1
3
的大小并证明．

难度：较难

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7．已知f_n（x）=（1+2
x
）ⁿ，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
a1a2…an+1
≤pn．

难度：难

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