知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
OA
=（3，-4），
OB
=（6，-3），
OC
=（5-x，3）．
（1）若点A，B，C三点共线，求x的值；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求x的值．

难度：中等

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2．已知平面内点A（1，3），B（-2，-1），C（4，m）．
（1）若A，B，C三点不共线，求m的取值范围；
（2）当m=3时，边BC上的点D满足
BD
=2
DC
，求
AD
•
BC
的值．

难度：中等

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3．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点是F，准线是l，经过C上两点A、B分别作C的切线l₁、l₂．
（Ⅰ）若l₁交y轴于点D，求证：△AFD为等腰三角形；
（Ⅱ）设l₁与l₂交于点E在l上，求证：三点A、B、F共线．

难度：中等

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4．已知
OA
，
OB
不共线，设
OC
=s
OA
+t
OB
，且s+t=1．
求证：A，B，C三点共线．

难度：中等

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5．在以O为直角顶点的直角三角形OAB的外侧作两个正方形OAPQ和OBRS，设QS的中点为M（本题所有的点均在同一个平面内，如图所示），取直角的两边为坐标轴，试证明：
（1）OM⊥AB；
（2）三条直线OM，BP，AR通过同一点．

难度：中等

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6．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x₀，y₀）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F₁（-2，0），F₂（2，0）围成的三角形的周长恒为12．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点Q（x，y）到点F₂与到K（8，0）距离之比为
1
2
，求点Q的轨迹E的方程；
（3）设直线PB，QB的斜率分别为k₁，k₂，且4k₁=3k₂，证明：A，P，Q三点共线．

难度：较难

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7．函数f（x）=e^x（ax²+m）（其中a，m是实数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，m=1，函数f（x）的图象上有三个点：A（x₁，f（x₁），B（x₂，f（x₂），C（x₃，f（x₃），
满足：x₁＜x₂＜x₃，试判断A，B，C三点是否在同一条直线上，并证明你的结论．

难度：较难

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8．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，并且焦距为2，短轴与长轴的比是
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆中有如下定理：过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上任意一点M（x₀，y₀）的切线唯一，且方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1，利用此定理求过椭圆的点(1，
3
2
)的切线的方程；
（3）如图，过椭圆的右准线上一点P，向椭圆引两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：A，F，B三点共线．

难度：较难

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9．已知A，B，C是函数y=e^x图象上的三点，横坐标分别为t-1，t，t+1．
（1）当t=1时，求实数x，y的值，使得
.
OB
=x
.
OA
+y
.
OC
，其中O为坐标原点；
（2）①证明：对任意实数t，A，B，C三点不在同一条直线上；②问△ABC是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形？说明理由．

难度：中等

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10．（1）若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0相交于一点，则k的值为？
（2）若α∈N，又三点A（α，0），B（0，α+4），C（1，3）共线，求α的值．

难度：中等

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