知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点F（1，0），点P为平面内的动点，过点P作直线l：x=-1的垂线，垂足为Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足
MA
•
AB
=0，求|
MB
|的最小值．

难度：中等

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2．自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持|
PQ
|为定值2
2
（P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中点M的轨迹是的一部分（不需写具体方程）；
（2）N是线段PQ上任-点，若|OM|=1，则
OM
•
ON
的取值范围是．

难度：较难

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3．若动点M到定点A（0，1）与定直线l：y=3的距离之和为4．
（1）求点M的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；
（2）记（1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C上关于点B（0，t）（t∈R）对称的不同点有几对？请说明理由．

难度：较难

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4．已知圆O：x²+y²=9，点A（2，0），点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是．

难度：中等

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5．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，
3
），（0，-
3
），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（1）求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M为何种曲线；
（2）当m=-
3
4
时，点P（1，t）为曲线M上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与曲线M交于E，F两点，直线PE，PF斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．

难度：中等

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6．已知圆心为H的圆x²+y²+2x-15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求
PE
•
QF
的取值范围．

难度：中等

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7．已知圆C₁：（x+1）²+y²=25，圆C₂：（x-1）²+y²=1，动圆C与圆C₁和圆C₂均内切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）点P（1，t）为轨迹E上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与轨迹E交于A，B两点，直线PA，PB斜率互为相反数，则直线AB斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

难度：中等

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8．（2015秋•福建校级期末）如图，已知线段AB长度为a（a为定值），在其上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆，它们交于点M、N．试以A为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系．
（1）证明：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；
（2）当|AM|=
1
3
|AB|时，过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，在线段GH上取一点K，使
1
|AG|
+
1
|AH|
=
2
|AK|
求点K的轨迹．

难度：较难

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9．已知点A（-1，0），B（1，0）直线AM，BM相交于点M，且k_MA×k_MB=-2．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过定点F（0，1）作直线PQ与曲线C交于P、Q两点，△OPQ的面积是否存在最大值，若存在，求出△OPQ面积的最大值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．设0＜a＜b，过两定点A（a，0）和B（b，0）分别引直线l和m，使之与抛物线y²=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，这种直线l和m的交点P的轨迹为．

难度：中等

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