知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆C的方程为（x-3）²+y²=1，圆M的方程为（x-3-3cosθ）²+（y-3sinθ）²=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为．

难度：中等

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2．已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
1
2
，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若
OM
+
ON
=
OQ
，若存在求k的值，若不存在则说明理由．

难度：较难

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁，F₂，M是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△MF₁F₂的周长为4+2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=
4
3
上动点P（x₀，y₀）（x₀•y₀≠0）处的切线，l与椭圆C交与不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

难度：较难

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4．过圆x²+y²=1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则|
OA
+2
OB
|的最小值是．

难度：较难

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5．在平面直角坐标系xOy中，圆C₁：（x-1）²+y²=2，圆C₂：（x-m）²+（y+m）²=m²．圆C₂上存在点P满足：过点P向圆C₁作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围是．

难度：较难

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6．已知定点A（-1，0），圆C：x²+y²-2x-2
3
y+3=0．
（1）过点A向圆C引切线，求切线长；
（2）过点A作直线l₁交圆C于P、Q，且
AP
=
PQ
，求直线1₁的斜率k；
（3）定点M，N在直线l₂：x=1上，对于圆C上任意一点R都满足RN=
3
RM，试求M，N两点的坐标．

难度：中等

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7．已知圆的方程是x²+y²=1，求：
（1）过点A（
1
2
，
3
2
）的切线方程；
（2）过点C（1，1）的切线方程．

难度：中等

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8．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值．求∠MAN的度数．

难度：中等

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