知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．
设椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}+y^{2}=1\)的右焦点为\(F\)，过\(F\)的直线\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，点\(M\)的坐标为\((2,0)\)．
\((1)\)当\(l\)与\(x\)轴垂直时，求直线\(AM\)的方程；
\((2)\)设\(O\)为坐标原点，证明：\(∠OMA=∠OMB\)．

难度：较难

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2．
已知斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M(1,m)(m > 0)\)．
\((1)\)证明：\(k < - \dfrac {1}{2}\)；
\((2)\)设\(F\)为\(C\)的右焦点，\(P\)为\(C\)上一点，且\( \overrightarrow{FP}+ \overrightarrow{FA}+ \overrightarrow{FB}= \overrightarrow{0}.\)证明：\(| \overrightarrow{FA}|\)，\(| \overrightarrow{FP}|\)，\(| \overrightarrow{FB}|\)成等差数列，并求该数列的公差．

难度：较易

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3．
已知斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M(1,m)(m > 0)\)．
\((1)\)证明：\(k < - \dfrac {1}{2}\)；
\((2)\)设\(F\)为\(C\)的右焦点，\(P\)为\(C\)上一点，且\( \overrightarrow{FP}+ \overrightarrow{FA}+ \overrightarrow{FB}= \overrightarrow{0}\)，证明：\(2| \overrightarrow{FP}|=| \overrightarrow{FA}|+| \overrightarrow{FB}|.\)

难度：较易

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4．
如图，已知点\(P\)是\(y\)轴左侧\((\)不含\(y\)轴\()\)一点，抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)上存在不同的两点\(A\)，\(B\)满足\(PA\)，\(PB\)的中点均在\(C\)上．
\((\)Ⅰ\()\)设\(AB\)中点为\(M\)，证明：\(PM\)垂直于\(y\)轴；
\((\)Ⅱ\()\)若\(P\)是半椭圆\(x^{2}+ \dfrac {y^{2}}{4}=1(x < 0)\)上的动点，求\(\triangle PAB\)面积的取值范围．

难度：中等

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5．
已知圆\(x^{2}+y^{2}-2x=0\)的圆心为\(C\)，直线\( \begin{cases} x=-1+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y=3- \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}\)，\((t\)为参数\()\)与该圆相交于\(A\)，\(B\)两点，则\(\triangle ABC\)的面积为 ______ ．

难度：易

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6．
设椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右顶点为\(A\)，上顶点为\(B.\)已知椭圆的离心率为\( \dfrac { \sqrt {5}}{3}\)，\(|AB|= \sqrt {13}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆的方程；
\((\)Ⅱ\()\)设直线\(l\)：\(y=kx(k < 0)\)与椭圆交于\(P\)，\(Q\)两点，\(1\)与直线\(AB\)交于点\(M\)，且点\(P\)，\(M\)均在第四象限\(.\)若\(\triangle BPM\)的面积是\(\triangle BPQ\)面积的\(2\)倍，求\(k\)的值．

难度：较易

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7．
已知椭圆\(M\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，焦距为\(2 \sqrt {2}.\)斜率为\(k\)的直线\(l\)与椭圆\(M\)有两个不同的交点\(A\)，\(B\)．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(M\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)若\(k=1\)，求\(|AB|\)的最大值；
\((\)Ⅲ\()\)设\(P(-2,0)\)，直线\(PA\)与椭圆\(M\)的另一个交点为\(C\)，直线\(PB\)与椭圆\(M\)的另一个交点为\(D.\)若\(C\)，\(D\)和点\(Q(- \dfrac {7}{4}, \dfrac {1}{4})\)共线，求\(k\)．

难度：较易

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8．
\((1)\)
如图，\(⊙O\)中\(\overline {AB} \)的中点为\(P\)，弦\(PC\)，\(PD\)分别交\(AB\)于\(E\)，\(F\)两点。

\((\)Ⅰ\()\)若\(∠PFB=2∠PCD\)，求\(∠PCD\)的大小；

\((\)Ⅱ\()\)若\(EC\)的垂直平分线与\(FD\)的垂直平分线交于点\(G\)，证明\(OG⊥CD\)。

\((2)\) 在直线坐标系\(xoy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\((\)为参数\()\)。以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C_{2}\)的极坐标方程为\(ρ\sin \)( )\(=\)．
\((I)\)写出\(C_{1}\)的普通方程和\(C_{2}\)的直角坐标方程；
\((II)\)设点\(P\)在\(C_{1}\)上，点\(Q\)在\(C_{2}\)上，求\(∣PQ∣\)的最小值及此时\(P\)的直角坐标．

\((3)\) 已知函数\(f(x)=∣2x-a∣+a\)．

\((I)\)当\(a=2\)时，求不等式\(f(x)\leqslant 6\)的解集；
\((II)\)设函数\(g(x)=∣2x-1∣.\)当\(x∈R\)时，\(f(x)+g(x)\geqslant 3\)，求\(a\)的取值范围。

难度：较易

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