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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点\(D(1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上，直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(P\)两点，与\(x\)轴，\(y\)轴分别相交于点\(N\)和\(M\)，且\(|PM|=|MN|\)，点\(Q\)是点\(P\)关于\(x\)轴的对称点，\(QM\)的延长线交椭圆\(C\)于点\(B\)，过点\(A\)，\(B\)分别作\(x\)轴的垂线，垂足分别为\(A_{1}\)，\(B_{1}\)．
              \((1)\)求椭园\(C\)的方程
              \((2)\)是否存在直线\(l\)，使得点\(N\)平分线段\(A_{1}B_{1}\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由
              难度：中等
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)中心在原点，离心率\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，其右焦点是圆\(E\)：\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)的圆心．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)如图，过椭圆\(C\)上且位于\(y\)轴左侧的一点\(P\)作圆\(E\)的两条切线，分别交\(y\)轴于点\(M\)、\(N.\)试推断是否存在点\(P\)，使\(|MN|= \dfrac { \sqrt {14}}{3}\)？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 3．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M(-2,-1)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)过点\(M\)作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆\(C\)交于异于\(M\)的另外两点\(P\)、\(Q\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)试判断直线\(PQ\)的斜率是否为定值，证明你的结论．
              难度：中等
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(M\)，\(N\)两点，且\(\triangle MNF_{2}\)的周长为\(8\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)若直线\(y=kx+b\)与椭圆\(C\)分别交于\(A\)，\(B\)两点，且\(OA⊥OB\)，试问点\(O\)到直线\(AB\)的距离是否为定值，证明你的结论．
              难度：较难
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            • 5．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，点\((2,1)\)在椭圆\(C\)上．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(l\)与圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=2\)相切，与椭圆\(C\)相交于\(P\)，\(Q\)两点．
              \(①\)若直线\(l\)过椭圆\(C\)的右焦点\(F\)，求\(\triangle OPQ\)的面积；
              \(②\)求证：\(OP⊥OQ\)．
              难度：难
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}.\)设过点\(F_{2}\)的直线\(l\)被椭圆\(C\)截得的线段为\(RS\)，当\(l⊥x\)轴时，\(|RS|=3\)
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(T(4,0)\)，证明：当直线\(l\)变化时，直线\(TS\)与\(TR\)的斜率之和为定值．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\(C\)的离心率为\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，长轴的左、右端点分别为\(A_{1}(-2,0)\)，\(A_{2}(-2,0)\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(x=my+1\)与椭圆\(C\)交于\(P\)，\(Q\)两点，直线\(A_{1}P\)，\(A_{2}Q\)交于\(S\)，试问：当\(m\)变化时，点\(S\)是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)方程为\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\)，过右焦点斜率为\(l\)的直线到原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(M(2,0)\)，过点\(M\)的直线与椭圆\(C\)相交于\(E\)，\(F\)两点，当线段\(EF\)的中点落在由四点\(C_{1}(-1,0)\)，\(C_{2}(1,0)\)，\(B_{1}(0,-1)\)，\(B_{2}(0,1)\)构成的四边形内\((\)包括边界\()\)时，求直线斜率的取值范围．
              难度：中等
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            • 9．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{25}+ \dfrac {y^{2}}{9}=1\)，直线\(l\)：\(4x-5y+40=0.\)椭圆上是否存在一点，它到直线\(l\)的距离最小？最小距离是多少？
              难度：较易
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            • 10．
              已知点\(P\)是椭圆\(C\)上任一点，点\(P\)到直线\(l_{1}\)：\(x=-2\)的距离为\(d_{1}\)，到点\(F(-1,0)\)的距离为\(d_{2}\)，且\( \dfrac { d_{ 2 }}{d_{1}}= \dfrac { \sqrt {2}}{2}.\)直线\(l\)与椭圆\(C\)交于不同两点\(A\)、\(B(A,B\)都在\(x\)轴上方\()\)，且\(∠OFA+∠OFB=180^{\circ}\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)当\(A\)为椭圆与\(y\)轴正半轴的交点时，求直线\(l\)方程；
              \((3)\)对于动直线\(l\)，是否存在一个定点，无论\(∠OFA\)如何变化，直线\(l\)总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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