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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左顶点，右焦点分别为\(A\)，\(F\)，右准线为\(m\)．
              \((1)\)若直线\(m\)上不存在点\(Q\)，使\(\triangle AFQ\)为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；
              \((2)\)在\((1)\)的条件下，当\(e\)取最大值时，\(A\)点坐标为\((-2,0)\)，设\(B\)，\(M\)，\(N\)是椭圆上的三点，且\( \overrightarrow{OB}= \dfrac {3}{5} \overrightarrow{OM}+ \dfrac {4}{5} \overrightarrow{ON}\)，求：以线段\(MN\)的中点为圆心，过\(A\)，\(F\)两点的圆的方程．
              难度：较易
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            • 2．
              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右焦点为\(F\)，\(P\)为右准线上一点\(.\)点\(Q\)在椭圆上，且\(FQ⊥FP\)．
              \((1)\)若椭圆的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，短轴长为\(2 \sqrt {3}\)．
              \(①\)求椭圆的方程；
              \(②\)若直线\(OQ\)，\(PQ\)的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，求\(k_{1}⋅k_{2}\)的值．
              \((2)\)若在\(x\)轴上方存在\(P\)，\(Q\)两点，使\(O\)，\(F\)，\(P\)，\(Q\)四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
              难度：中等
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，离心率等于\( \dfrac {1}{2}\)，它的一个短轴端点恰好是抛物线\(x^{2}=8 \sqrt {3}y\)的焦点．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)已知\(P(2,3)\)、\(Q(2,-3)\)是椭圆上的两点，\(A\)，\(B\)是椭圆上位于直线\(PQ\)两侧的动点，
              \(①\)若直线\(AB\)的斜率为\( \dfrac {1}{2}\)，求四边形\(APBQ\)面积的最大值；
              \(②\)当\(A\)、\(B\)运动时，满足\(∠APQ=∠BPQ\)，试问直线\(AB\)的斜率是否为定值，请说明理由．
              难度：中等
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            • 4．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别为左、右焦点，过\(F_{1}\)的直线交椭圆\(C\)于\(P\)，\(Q\)两点，且\(\triangle PQF_{2}\)的周长为\(8\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设过点\(M(3,0)\)的直线交椭圆\(C\)于不同两点\(A\)，\(B.N\)为椭圆上一点，且满足\( \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}=t \overrightarrow{ON}(O\)为坐标原点\()\)，当\(|AB| < \sqrt {3}\)时，求实数\(t\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 5．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，短轴一个端点到右焦点的距离为\( \sqrt {3}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，坐标原点\(O\)到直线\(l\)的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，求\(\triangle AOB\)面积的最大值．
              难度：较难
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            • 6．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{5}+y^{2}=1\)的右焦点为\(F\)，原点为\(O\)，椭圆\(C\)的动弦\(AB\)过焦点\(F\)且不垂直于坐标轴，弦\(AB\)的中点为\(N\)，过\(F\)且垂直于线段\(AB\)的直线交射线\(ON\)于点\(M\)．
              \((1)\)证明：点\(M\)在定直线上；
              \((2)\)当\(∠OMF\)最大时，求\(\triangle MAB\)的面积．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\(E： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(P(- \sqrt {3}, \dfrac {1}{2})\)，椭圆\(E\)的一个焦点为\(( \sqrt {3},0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)过点\(M(0, \sqrt {2})\)且与椭圆\(E\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|AB|\)的最大值．
              难度：中等
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，上顶点\(M\)到直线\( \sqrt {3}x+y+4=0\)的距离为\(3\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设直线\(l\)过点\((4,-2)\)且与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(l\)不经过点\(M\)，证明：直线\(MA\)的斜率与直线\(MB\)的斜率之和为定值．
              难度：较易
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            • 9．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，三点\(P_{1}(1, \dfrac {3}{2})\)，\(P_{2}( \dfrac {1}{2},- \dfrac { \sqrt {3}}{2}).P_{3}(-1,- \dfrac {3}{2})\)中恰有二点在椭圆\(C\)上，且离心率为\(e= \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)设\(P\)为椭圆\(C\)上任一点，\(A_{1}A_{2}\)为椭圆\(C\)的左右顶点，\(M\)为\(PA_{2}\)中点，求证：直线\(PA_{2}\)与直线\(OM\)它们的斜率之积为定值；
              \((3)\)若椭圆\(C\)的右焦点为\(F\)，过\(B(4,0)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(D\)，\(E\)，求证：直线\(FD\)与直线\(FE\)关于直线\(x=1\)对称．
              难度：较易
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            • 10．
              已知椭圆\(C\)的两个焦点为\(F_{1}(-1,0)\)，\(F_{2}(1,0)\)，且经过点\(E(1, \dfrac {3}{2})\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点\((\)点\(A\)位于\(x\)轴上方\()\)，若\( \overrightarrow{AF_{1}}=λ \overrightarrow{F_{1}B}\)，且\( \dfrac {5}{3}\leqslant λ\leqslant \dfrac {7}{3}\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围．
              难度：中等
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