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          共50条信息

            • 1．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，且椭圆\(C\)上一点\(M\)与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为\(4+2 \sqrt {2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((2)\)如图，设点\(D\)为椭圆上任意一点，直线\(y=m\)和椭圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，直线\(DA\)、\(DB\)与\(y\)轴的交点分别为\(P\)、\(Q\)，求证：\(∠PF_{1}F_{2}+∠QF_{1}F_{2}=90^{\circ}\)．
              难度：中等
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            • 2．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，左右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且\(|F_{1}F_{2}|=2\)，点\((1, \dfrac {3}{2})\)在椭圆\(C\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过\(F_{1}\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且\(\triangle AF_{2}B\)的面积为\( \dfrac {12 \sqrt {2}}{7}\)，求以\(F_{2}\)为圆心且与直线\(l\)相切的圆的方程．
              难度：难
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            • 3．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)过点\((2,0)\)，且椭圆\(C\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若动点\(P\)在直线\(x=-1\)上，过\(P\)作直线交椭圆\(C\)于\(M\)，\(N\)两点，且\(P\)为线段\(MN\)中点，再过\(P\)：作直线\(l⊥MN.\)求直线\(l\)是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(C\)的中心在原点，焦点在\(x\)轴上，焦距为\(2\)，且长轴长是短轴长的\( \sqrt {2}\)倍\(.\)
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)设\(P(2,0)\)，过椭圆\(C\)左焦点\(F\)作斜率\(k\)直线\(l\)交\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，若\(S_{\triangle ABP}= \dfrac { \sqrt {10}}{2}\)，求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 5．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的长轴为\(4\)，短轴为\(2\)．
              \((I)\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)：\(y=x+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，若点\(M(-1,y_{0})\)是线段\(AB\)的中点，求直线\(l\)的方程．
              难度：较易
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            • 6．
              已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一个顶点坐标为\(B(0,1)\)，若该椭圆的离心等于\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，
              \((I)\)求椭圆的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)点\(Q\)是椭圆\(C\)上位于\(x\)轴下方一点，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)分别是椭圆的左、右焦点，直线\(QF_{1}\)的倾斜角为\( \dfrac {π}{6}\)，求\(\triangle QF_{1}F_{2}\)的面积．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，右焦点为\(F\)，过点\(B(0,-b)\)和点\(F\)的直线与原点的距离为\(1\)．
              \((1)\)求此椭圆的方程；
              \((2)\)过该椭圆的左顶点\(A\)作直线\(l\)，分别交椭圆和圆\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)于相异两点\(P\)、\(Q.\)若\(|PQ|=λ|AP|\)，则实数 \(λ\) 的取值范围．
              难度：较易
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            • 8．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上有一点 \(P\)满足到椭圆的两个焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离\(|PF_{1}|+|PF_{2}|=10\)，离心率\(e= \dfrac {4}{5}\)．
              \((1)\)求椭圆的标准方程．
              \((2)\)若\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，求\(\triangle F_{1}PF_{2}\)的面积．
              难度：较易
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            • 9．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，以原点\(O\)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(x-y+ \sqrt {6}=0\)相切．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(k_{OA}⋅k_{OB}=- \dfrac {3}{4}.\)求证：\(\triangle AOB\)的面积为定值．
              难度：较易
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            • 10．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的长轴长是短轴长的\( \dfrac {3 \sqrt {5}}{5}\)倍，\(A\)是椭圆\(C\)的左顶点，\(F\)是椭圆\(C\)的右焦点，点\(M(x_{0},y_{0})(x_{0} > 0,y_{0} > 0)\)，\(N\)都在椭圆\(C\)上．
              \((\)Ⅰ\()\)若点\(D(-1, \dfrac {2 \sqrt {10}}{3})\)在椭圆\(C\)上，求\(|NF|\)的最大值；
              \((\)Ⅱ\()\)若\( \overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{AN}(O\)为坐标原点\()\)，求直线\(AN\)的斜率．
              难度：中等
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