知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

\(21.\)已知\(F_{1}\)，\(F_{2}\)是椭圆\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点，离心率为\( \dfrac{1}{2}\)，\(P\)为椭圆上的一点，且\(∠F_{1}PF_{2}=60^{\circ}\)，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的面积为\( \sqrt{3}\)．

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)若直线\(l\)：\(y=- \dfrac{1}{2}x+m\)与椭圆交于\(A\)，\(B\)两点，与以\(F_{1}F_{2}\)为直径的圆交于\(C\)，\(D\)两点，且满足\( \dfrac{|AB|}{|CD|}= \dfrac{5 \sqrt{3}}{4}\)，求直线\(l\)的方程．

难度：中等

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2．
如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，焦点在\(x\)轴上的椭圆\(C:\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\)经过点\((b,2e)(\)其中\(e\)为椭圆\(C\)的离心率\()\)，过点\(T(1,0)\)作斜率为\(k(k > 0)\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(A\)，\(B\)两点\((A\)在\(x\)轴下方\()\)．

\((1)\) 求椭圆\(C\)的标准方程\(;\)

\((2)\) 设过点\(O\)且平行于\(l\)的直线交椭圆\(C\)于点\(M\)，\(N\)，求\(\dfrac{{AT}\mathrm{{·}}{BT}}{MN^{2}}\)的值\(;\)

\((3)\) 记直线\(l\)与\(y\)轴的交点为\(P\)，若\(\overrightarrow{{AP}}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{{TB}}\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)．

难度：较难

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3．

已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右焦点为\(F\)，短轴的一个端点为\(M\)，直线\(l\)：\(3x-4y=0\)交椭圆\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AF|+|BF|=4\)，点\(M\)到直线\(l\)的距离不小于\( \dfrac {4}{5}\)，则椭圆\(E\)的离心率的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((0, \dfrac { \sqrt {3}}{2}]\)

B．\((0, \dfrac {3}{4}]\)

C．\([ \dfrac { \sqrt {3}}{2},1)\)

D．\([ \dfrac {3}{4},1)\)

难度：较难

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4．

已知点\(F\)为椭圆\(E\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线\( \dfrac{x}{4}+ \dfrac{y}{2}=1\)与椭圆\(E\)有且仅有一个交点\(M\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)设直线\( \dfrac{x}{4}+ \dfrac{y}{2}=1\)与\(y\)轴交于\(P\)，过点\(P\)的直线\(l\)与椭圆\(E\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，若\(λ|PM|^{2}=|PA|·|PB|\)，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：较难

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5．
已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

难度：难

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6．已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\(F(-c,0)\)，离心率为\( \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)，点\(M\)在椭圆上且位于第一象限，直线\(FM\)被圆\(x^{2}+y^{2}= \dfrac {b^{2}}{4}\)截得的线段的长为\(c\)，\(|FM|= \dfrac {4 \sqrt {3}}{3}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求直线\(FM\)的斜率；
\((\)Ⅱ\()\)求椭圆的方程；
\((\)Ⅲ\()\)设动点\(P\)在椭圆上，若直线\(FP\)的斜率大于\( \sqrt {2}\)，求直线\(OP(O\)为原点\()\)的斜率的取值范围．

难度：中等

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7．
已知动点\(P(x,y)\)满足方程\(3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12=0\)，则\(P(x,y)\)到直线\(x+y-6=0\)的距离的取值范围_________________________\(.\)

难度：难

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8．

已知\(F\)_\(1\)、\(F\)_\(2\)是椭圆\(C\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的两个焦点，\(P\)为椭圆\(C\)上的一点，且\(PF\)_\(1\)\(⊥PF\)_\(2\)，若\(\triangle PF\)_\(1\)\(F\)_\(2\)的面积为\(9\)，\(\triangle PF_{1}F_{2}\)的周长为\(18\)”，求该椭圆的方程．

难度：中等

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9．

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac{1}{2}\)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(x-y+ \sqrt{6}=0\)相切，则椭圆\(C\)的方程为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac{x^{2}}{8}+ \dfrac{y^{2}}{6}=1\)

B．\( \dfrac{x^{2}}{12}+ \dfrac{y^{2}}{9}=1\)

C．\( \dfrac{x^{2}}{4}+ \dfrac{y^{2}}{3}=1\)

D．\( \dfrac{x^{2}}{6}+ \dfrac{y^{2}}{4}=1\)

难度：易

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10．
已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的右焦点为\(F\)，短轴的一个端点为\(M\)，直线\(l\)：\(3x-4y=0\)交椭圆\(E\)于\(A\)，\(B\)两点\(.\)若\(AF+BF=4\)，点\(M\)到直线\(l\)的距离不小于\(\dfrac{4}{5}\)，则椭圆\(E\)的离心率的取值范围是________．

难度：较难

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