知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图：A，B，C是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，原点O到直线CF的距离为
1
2
c，且椭圆过点(2
3
，1)．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k₁，问是否存在实数λ，使得λk1=k+
1
2
成立，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
3
2
的椭圆C过点(
2
，
2
2
)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设B为椭圆的上顶点，P、Q为椭圆C上异于点B的任意两点．
（ⅰ）设P、Q两点的连线不经过原点，且直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围；
（ⅱ）当BP⊥BQ时，若点B在线段PQ上的射影为点M，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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3．已知A（0，-1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|．以D（-1，1）为圆心的⊙D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求圆心D到直线MN的距离d的值．

难度：较难

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4．离心率为
5
5
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于相异两点M，N，且
OM
•
ON
=-
31
9
，求直线l的方程．

难度：中等

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5．（1）椭圆的离心率为
1
2
，焦点是（-3，0），（3，0），求该椭圆方程；
（2）双曲线焦点在x轴上，c=6，且过点A（-5，2），求双曲线的标准方程．

难度：中等

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（1，
3
2
），且离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点P(
1
5
，0)，求k的取值范围．

难度：较难

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7．设椭圆C过焦点(0，
3
)，(0，-
3
)，离心率为
3
2
，过点M（0，1）的直线l交椭圆C于点A、B，O是坐标原点，点P满足
OP
=
1
2
（
OA
+
OB
）；求：
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求动点P的轨迹方程．

难度：较难

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8．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F₂（1，0），且经过点（1，
3
2
）直线l：x+2y-8=0
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值及此时点P的坐标；
（3）过点E（0，1）的直线m与椭圆C交于不同的两点A，B，若
OM
=
1
4
（
OA
+
OB
），O为坐标原点，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，且过点A（-4，3）．
（1）若F₁A⊥F₂A，求椭圆的标准方程．
（2）在（1）的条件下，若点P为椭圆上一点，且满足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面积．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的点到左焦点的最大距离是
3
+
2
，且点M（1，e）在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率，A，B是椭圆C上的两点，且|AB|=
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△AOB面积的取值范围．

难度：中等

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