知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知方向向量为v=（1， $\text{[math]}$ ）的直线l过点（0，﹣2 $\text{[math]}$ ）和椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（﹣2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．cot∠MON≠0（O为原点）．若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知椭圆 $\text{[math]}$ ，焦距为2，离心率e为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．

难度：中等

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3．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为
3
3
，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
4
3
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，-
1
4
），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．

难度：中等

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4．如图．已知F₁，F₂分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，其离心率e=
1
2
，且a+c=3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设A，B分别为椭圆的上、下顶点，过F₂作直线l与椭圆交于C、D两点，并与y轴交于点P（异于A，B，O点），直线AC与直线BD交于点Q，则
OP
•
OQ
是否为定值，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．

难度：难

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5．已知中心在原点的焦点在坐标轴上的椭圆过点M(1，
4
3
2
)，N(-
3
2
2
，
2
)；求
（1）离心率e；
（2）椭圆上是否存在P（x，y）到定点A（a，0）（0＜a＜3）距离的最小值为1？若存在求a及P坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）记f（x）=S²，求f（x）的最大值及面积S的最大值．

难度：中等

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