知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知抛物线\(C\)：\(x^{2}=2py(p > 0)\)过点\((2,1)\)，直线\(l\)过点\(P(0,-1)\)与抛物线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点\(.\)点\(A\)关于\(y\)轴的对称点为\(A′\)，连接\(A′B\)．
\((1)\)求抛物线线\(C\)的标准方程；
\((2)\)问直线\(A′B\)是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

难度：较易

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3．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，以抛物线上一动点\(M\)为圆心的圆经过点\(F.\)若圆\(M\)的面积最小值为\(π\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(p\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)当点\(M\)的横坐标为\(1\)且位于第一象限时，过\(M\)作抛物线的两条弦\(MA\)，\(MB\)，且满足\(∠AMF=∠BMF.\)若直线\(AB\)恰好与圆\(M\)相切，求直线\(AB\)的方程．

难度：较易

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4．

若点\(P\)为抛物线\(C\)：\(y=2x^{2}\)上的动点，\(F\)为\(C\)的焦点，则\(|PF|\)的最小值为\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\( \dfrac {1}{2}\)

C．\( \dfrac {1}{4}\)

D．\( \dfrac {1}{8}\)

难度：较难

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5．
已知抛物线\(x^{2}=2py(p > 0)\)和圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}(r > 0)\)的公共弦过抛物线的焦点\(F\)，且弦长为\(4\)．
\((1)\)求抛物线和圆的方程：
\((2)\)过点\(F\)的直线与抛物线相交于\(A\)、\(B\)两点，抛物线在点\(A\)处的切线与\(x\)轴的交点为\(M\)，求\(\triangle ABM\)面积的最小值．

难度：较易

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6．
如图，已知抛物线\(C\)的顶点在原点，焦点\(F\)在\(x\)轴上，抛物线上的点\(A\)到\(F\)的距离为\(2\)，且\(A\)的横坐标为\(1.\)过\(A\)点作抛物线\(C\)的两条动弦\(AD\)、\(AE\)，且\(AD\)、\(AE\)的斜率满足\(k_{AD}⋅k_{AE}=2\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)直线\(DE\)是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．

难度：较易

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7．
已知\(F(1,0)\)，\(P\)是平面上一动点，\(P\)到直线\(l\)：\(x=-1\)上的射影为点\(N\)，且满足\(( \overrightarrow{PN}+ \dfrac {1}{2} \overrightarrow{NF})\cdot \overrightarrow{NF}=0\)
\((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的轨迹\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过点\(M(1,2)\)作曲线\(C\)的两条弦\(MA\)，\(MB\)，设\(MA\)，\(MB\)所在直线的斜率分别为\(k_{1}\)，\(k_{2}\)，当\(k_{1}\)，\(k_{2}\)变化且满足\(k_{1}+k_{2}=-1\)时，证明直线\(AB\)恒过定点，并求出该定点坐标．

难度：难

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8．
已知抛物线\(C\)的焦点在\(x\)轴上，顶点在原点且过点\(p(2,1)\)，过点\((2,0)\)的直线\(l\)交抛物线\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，\(M\)是线段\(AB\)的中点，过点\(M\)作\(y\)轴的垂线交\(C\)于点\(N\)．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)是否存在直线\(l\)，使得以\(AB\)为直径的圆\(M\)经过点\(N\)？若存在，求出直线\(l\)的方程；若不存在，说明理由．

难度：较易

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