知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．

难度：中等

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2．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面1.5m，水面宽4m．水下降0.5m后，水面宽多少？

难度：中等

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3．某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；
（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．

难度：中等

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4．过抛物线y²=8x的焦点作直线交抛物线于A（x₁ ， x₂）、B（x₂ ， y₂）两点，若|AB|=16，则x₁+x₂=

难度：中等

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5．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？

难度：中等

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6．（2015秋•福建校级期末）如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．
（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；
（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；
（Ⅲ）求面积S的最大值．

难度：中等

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7．已知圆C过点P（
2
2
，
2
2
），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆心C上的一个动点，求
CQ
•
MQ
的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

难度：较难

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8．有一智能机器人在平面上行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=-1的距离相等，若机器人接触不到过点P（-1，0）且斜率为k的直线，求k的取值范围．

难度：中等

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9．已知圆C与x轴的交点分别为A（-1，0），B（3，0），且圆心在直线2x-y=0上．
（I）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求与圆C相切于点B（3，0）的切线方程；
（Ⅲ）若圆C与直线y=x+m有公共点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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10．焦点在直线x=1上的抛物线的标准方程是（　　）

A．y²=2x

B．x²=4y

C．y²=-4y

D．y²=4x

难度：较易

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