知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的离心率为\(2\)，右顶点为\((1,0)\)．
\((1)\)求双曲线\(C\)的方程；
\((2)\)设直线\(y=-x+m\)与\(y\)轴交于点\(P\)，与双曲线\(C\)的左、右支分别交于点\(Q\)，\(R\)，且\( \dfrac {|PQ|}{|PR|}=2\)，求\(m\)的值．

难度：较易

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2．
已知双曲线的中心在原点，焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)在坐标轴上，离心率为\( \sqrt {2}\)，且过点\((4,- \sqrt {10}).\)点\(M(3,m)\)在双曲线上．
\((1)\)求双曲线方程；
\((2)\)求证：\( \overrightarrow{MF_{1}}⋅ \overrightarrow{MF_{2}}=0\)；
\((3)\)求\(\triangle F_{1}MF_{2}\)面积．

难度：较易

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3．
已知命题\(p\)：\(k^{2}-8k-20\leqslant 0\)，命题\(q\)：方程\( \dfrac {x^{2}}{4-k}+ \dfrac {y^{2}}{1-k}=1\)表示焦点在\(x\)轴上的双曲线．
\((\)Ⅰ\()\)命题\(q\)为真命题，求实数\(k\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)若命题“\(p∨q\)”为真，命题“\(p∧q\)”为假，求实数\(k\)的取值范围．

难度：中等

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4．
\((1)\)若抛物线的焦点是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{64}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1\)左顶点，求此抛物线的标准方程；
\((2)\)某双曲线与椭圆\( \dfrac {x^{2}}{64}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1\)共焦点，且以\(y=± \sqrt {3}x\)为渐近线，求此双曲线的标准方程．

难度：易

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5．
已知双曲线\(E\)的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率\(e= \dfrac { \sqrt {6}}{2}\)，且双曲线过点\(P(2,3 \sqrt {2}).\)求双曲线\(E\)的方程．

难度：易

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6．
已知中心在原点的双曲线\(C\)的右焦点为\((2,0)\)，实轴长\(2 \sqrt {3}\)．
\((1)\)求双曲线的方程
\((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+ \sqrt {2}\)与双曲线恒有两个不同的交点\(A\)，\(B\)，且\(∠AOB\)为锐角\((\)其中\(O\)为原点\()\)，求\(k\)的取值范围．

难度：较易

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7．
已知双曲线的中心在原点，焦点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)在坐标轴上，离心率为\( \sqrt {2}\)且过点\(M(4,- \sqrt {10}).\)
\((1)\)求双曲线方程；
\((2)\)求\(\triangle F_{1}MF_{2}\)的面积．

难度：较易

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8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

\((1)\)一个焦点为\((0,13)\)，且离心率为\(\dfrac{13}{5}\)；

\((2)\)渐近线方程为\(y=\pm \dfrac{1}{2}x\)，且经过点\(A(2,-3)\)．

难度：中等

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9．
设命题\(p\)：方程\( \dfrac{{x}^{2}}{2+k}- \dfrac{{y}^{2}}{3k+1}=1 \)表示双曲线；命题\(q\)：斜率为\(k\)的直线\(l\) 过定点\(p\left(-2,1\right), \)且与抛物线\({y}^{2}=4x \)有两个不同的公共点\(.\)若\(p∧q \)是真命题，求\(k\)的取值范围．

难度：中等

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10．
已知\(m\in {R}\)，命题\(p:\{m|\)方程\(\dfrac{{{y}^{2}}}{8-m}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2m-1}=1\)表示焦点在\(y\)轴上的椭圆\(\}\)，命题\(q:\{m|\)方程\(\dfrac{{{y}^{2}}}{m+1}+\dfrac{{{x}^{2}}}{m-2}=1\)表示双曲线\(\}\)，若命题“\(p∨q\)”为真，“\(p∧q\)”为假，求实数\(m\)的取值范围．

难度：较难

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