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          共50条信息

            • 1．

              已知双曲线\(C\)：\(x^{2}-y^{2}=1\)及直线\(l\)：\(y=kx+1\)．

                  \((1)\)若\(l\)与\(C\)有两个不同的交点，求实数\(k\)的取值范围；

                  \((2)\)若\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，且\(AB\)中点的横坐标为\(\sqrt{{2}}\)，求线段\(AB\)的长．

              难度：较易
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            • 2．
              已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，\(P(1,m)\)是抛物线\(C\)上的一点，且\(|PF|=2\)．
              \((1)\)若椭圆\(C′： \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{n}=1\)与抛物线\(C\)有共同的焦点，求椭圆\(C{{'}}\)的方程；
              \((2)\)设抛物线\(C\)与\((1)\)中所求椭圆\(C{{'}}\)的交点为\(A\)、\(B\)，求以\(OA\)和\(OB\)所在的直线为渐近线，且经过点\(P\)的双曲线方程．
              难度：难
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            • 3． 已知直线\(l_{1}\)：\( \sqrt{3}x+ \sqrt{10}y-4=0\)为曲线\(C_{1}\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一条切线，直线\(l_{2}\)：\(x-2y-4=0\)为曲线\(C_{2}\)：\( \dfrac{x^{2}}{4a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{2b^{2}}=1\)的一条切线．
              \((1)\)求曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)的方程；

              \((2)\)作抛物线\(y\)\({\,\!}^{2}\)\(=2px(p > 0)\)交\(C\)\({\,\!}_{1}\)于\(A\)，\(B\)两点，交\(C\)\({\,\!}_{2}\)于\(C\)，\(D\)两点，当以\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四点为顶点的凸四边形面积为最大时，求实数\(p\)的值．

              难度：较难
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            • 4．

              设\(A\)、\(B\)分别为双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 (a > 0,b > 0)\)的左右顶点，双曲线的实轴长为\(4 \sqrt{3} \)，焦点到渐近线的距离为\( \sqrt{3} \)．

              \((1)\)求双曲线的方程；

              \((2)\)已知直线\(y= \dfrac{ \sqrt{3}}{3}x-2 \)与双曲线的右支交于\(M\)、\(N\)两点，且在双曲线的右支上存在点\(D\)，使\( \overset{→}{OM}+ \overset{→}{ON}=t \overset{→}{OD} \)，求\(t\)的值及点\(D\)的坐标．

              难度：难
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            • 5． 已知双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b < 0)\)的离心率为\( \sqrt {3}\)，焦点到渐近线的距离为\(2\)．
              \((1)\)求双曲线\(C\)的方程；
              \((2)\)已知直线\(x-y+m=0\)与双曲线\(C\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，且线段\(AB\)的中点在圆\(x^{2}+y^{2}=5\)上，求\(m\)的值．
              难度：较易
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            • 6． 设双曲线\( \dfrac {y^{2}}{a^{2}}- \dfrac {x^{2}}{3}=1\)的两个焦点分别为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，离心率为\(2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求此双曲线的渐近线\(l_{1}\)、\(l_{2}\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(A\)、\(B\)分别为\(l_{1}\)、\(l_{2}\)上的点，且\(2|AB|=5|F_{1}F_{2}|\)，求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
              难度：较易
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            • 7．

              已知\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)是过点\(P\)\((- \sqrt{2} ,0)\)的两条互相垂直的直线，且\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)与双曲线\(y\)\({\,\!}^{2}-\)\(x\)\({\,\!}^{2}=1\)各有两个交点，分别为\(A\)\({\,\!}_{1}\)、\(B\)\({\,\!}_{1}\)和\(A\)\({\,\!}_{2}\)、\(B\)\({\,\!}_{2}\)．

              \((1)\)求\(l\)\({\,\!}_{1}\)的斜率\(k\)\({\,\!}_{1}\)的取值范围；\((2)\)若\(｜\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}｜= \sqrt{5} ｜\)\(A\)\({\,\!}_{2}\)\(B\)\({\,\!}_{2}｜\)，求\(l\)\({\,\!}_{1}\)、\(l\)\({\,\!}_{2}\)的方程．

              难度：较难
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            • 8．

              已知两定点\(F_{1}(-\sqrt{2},0)\)，\(F_{2}(\sqrt{2},0)\)，满足条件\(|PF_{2}|-|PF_{1}|=2\)的点\(P\)的轨迹是曲线\(E\)．

              \((1)\)求曲线\(E\)的标准方程；

              \((2)\)设过点\((0,-1)\)的直线与曲线\(E\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=6\sqrt{3}\)，求直线\(AB\)的方程．

              难度：较易
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            • 9．
              如图所示的“\(8\)”字形曲线是由两个关于\(x\)轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是\(x^{2}+y^{2}-4y-4=0\)，双曲线的左、右顶
              点\(A\)、\(B\)是该圆与\(x\)轴的交点，双曲线与半圆相交于与\(x\)轴平行的直径的两端点．
              \((1)\)试求双曲线的标准方程；
              \((2)\)记双曲线的左、右焦点为\(F_{1}\)、\(F_{2}\)，试在“\(8\)”字形曲线上求点\(P\)，使得
              \(∠F_{1}PF_{2}\)是直角．

              难度：较易
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            • 10．

              求适合下列条件的双曲线的标准方程：

              \((1)\)两个焦点的坐标分别是\((-5,0)\)，\((5,0)\)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于\(8\)；

              \((2)\)焦点在\(x\)轴上，经过点\(P(4,-2)\)和点\(Q(2\sqrt{6},2\sqrt{2})\)．

              难度：中等
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