知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在△ABC中，B（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，0）、C（- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，0），动点A满足sinB+sinC= $%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ sinA．
（1）求动点A的轨迹D的方程；
（2）若点P（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ），经过点P作一条直线l与轨迹D相交于点M，N，并且P为线段MN的中点，求直线l的方程．

难度：较易

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2．已知直线l：x-my+1-m=0（m∈R），圆C：x²+y²+4x-2y-4=0．
（Ⅰ）证明：对任意m∈R，直线l与圆C恒有两个公共点．
（Ⅱ）过圆心C作CM⊥l于点M，当m变化时，求点M的轨迹Γ的方程．
（Ⅲ）直线l：x-my+1-m=0与点M的轨迹Γ交于点M，N，与圆C交于点A，B，是否存在m的值，使得 $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3CMN%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3CAB%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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3．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BPQ%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ ，直线OP与QA交于点M．
问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

难度：较易

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4．已知圆C₁：（x+2）²+y²=
81
16
，圆C₂：（x-2）²+y²=
1
16
，动圆Q与圆C₁、圆C₂均外切．求动圆圆心Q的轨迹为曲线C；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设点M（m，0），点Q为曲线C上位于x轴上方的动点，
①若m＜0，写出直线MQ倾斜角的取值范围；
②证明：∃整数λ，负数m，使得∠QC₂M=λ∠QMC₂．

难度：中等

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5．已知圆A：（x+1）²+y²=
49
4
，圆B：（x-1）²+y²=
1
4
，动圆D和定圆A相内切，与定圆B相外切，
（1）记动圆圆心D的轨迹为曲线C，求C的方程；
（2）M､N是曲线C和x轴的两个交点，P是曲线C上异于M､N的一点，求证k_PM．k_PN为定值；
（3）过B点作两条互相垂直的直线l₁，l₂分别交曲线C于E､F､G､H，求四边形EGFH面积的取值范围．

难度：中等

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6．

如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　）

A．直线

B．抛物线

C．椭圆

D．双曲线的一支

难度：较难

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7．已知动点Q与两定点（-
2
，0），（
2
，0）连线的斜率的乘积为-
1
2
，点Q形成的轨迹为M．
（Ⅰ）求轨迹M的方程；
（Ⅱ）过点P（-2，0）的直线l交M于A、B两点，且
PB
=3
PA
，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C、D两点，过C、D两点分别作CE、DF垂直x轴于E、F两点，求四边形CEFD面积的最大值．

难度：中等

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8．抛物线y=ax²的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP中点M的轨迹方程为．

难度：中等

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9．在△ABC中，B（-
5
，0）、C（
5
，0），AB、AC边上的中线长之和为9．
（Ⅰ）求△ABC重心G的轨迹方程
（Ⅱ）设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求cos∠BPC的最小值．

难度：中等

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10．

（2015秋•台州校级月考）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=

，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（　　）

A．圆

B．抛物线

C．双曲线

D．直线

难度：较难

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