知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%29$ 的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D-1$ ．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（ $-%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B4%7D%EF%BC%8C0$ ），证明： $%20%5Coverrightarrow%20%7BMA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BMB%7D$ 为定值．

难度：中等

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2．已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，且经过点 $M%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A01%29$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l经过椭圆C的右焦点F₂，且与椭圆C交于A，B两点，使得|F₁A|，|AB|，|BF₁|依次成等差数列，求直线l的方程．

难度：难

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3．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，左、右焦点分别为F₁、F₂，点 $P%282%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

难度：较难

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4．已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，-2），离心率为 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，过点P作斜率为k₁，k₂的直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若k₁•k₂=2，证明直线AB过定点，并求出该定点．

难度：较易

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5．已知命题p：方程 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bm-2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4-m%7D$ =1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B3-m%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bm%7D$ =1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

难度：较易

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6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

难度：中等

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7．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（2，0）和点（0，1）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的一点，且
PF1
•
PF2
=0，求△F₁PF₂的面积．

难度：中等

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8．写出双曲线和椭圆的几何定义，并标明字母符号的意义，如有必要可画图并配有文字解释．

难度：较易

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9．已知△ABC的周长等于18，B、C两点坐标分别为（0，4），（0，-4），求A点的轨迹方程．

难度：中等

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10．已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA、EB，切点为A、B．直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．

难度：较难

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