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          共50条信息

            • 1．

              \(19.\)如图，在直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)中，\(\angle {{A}_{1}}AB=90{}^\circ \)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}/\!/AB\)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}=1\)，\(AB=A{{A}_{1}}=2.\)直角梯形\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)通过直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)以直线\(A{{A}_{1}}\)为轴旋转得到，且使得平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)．


              \((1)\)求证：平面\(CA{{B}_{1}}\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)；

              \((2)\)延长\({{B}_{1}}{{A}_{1}}\)至点\({{D}_{1}}\)，使\({{B}_{1}}{{A}_{1}}={{A}_{1}}{{D}_{1}}\)，\(E\)为平面\(ABC\)内的动点，若直线\({{D}_{1}}E\)与平面\(CA{{B}_{1}}\)所成的角为\(\alpha \)，且\(\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，求点\(E\)到点\(B\)的距离的最小值．

              难度：中等
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            • 2．

              如图，四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(AC\cap BD=0\)，\(A_{1}O⊥\)底面\(ABCD\)，\(AB=2\)，\(AA_{1}=3\)．

              \((1)\)证明：平面\(A_{1}CO⊥\)平面\(BB_{1}D_{1}D\)；

              \((2)\)若\(∠BAD=60^{\circ}\)，求二面角\(B-OB_{1}-C\)的余弦值．

              难度：较易
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            • 3．

              已知\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，则平面\(ABC\)的一个单位法向量是(    )

              A．\(\left( \left. \dfrac{ \sqrt{3}}{3}, \dfrac{ \sqrt{3}}{3},- \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)　　　　　　
              B．\(\left( \left. \dfrac{ \sqrt{3}}{3},- \dfrac{ \sqrt{3}}{3}, \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)

              C．\(\left( \left. - \dfrac{ \sqrt{3}}{3}, \dfrac{ \sqrt{3}}{3}, \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)
              D．\(\left( \left. - \dfrac{ \sqrt{3}}{3},- \dfrac{ \sqrt{3}}{3},- \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)
              难度：易
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            • 4．

              若\(a=(1,2,3)\)是平面\(γ\)的一个法向量，则下列向量中能作为平面\(γ\)的法向量的是 (    )

              A．\((0,1,2)\)
              B．\((3,6,9)\)
              C．\((-1,-2,3)\)
              D．\((3,6,8)\)
              难度：中等
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            • 5．

              在正方体\(ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(O\)是\(BD\)的中点，点\(P\)在线段\(B_{1}D_{1}\)上，直线\(OP\)与平面\(A_{1}BD\)所成的角为\(α\)，则\(\sin α\)的取值范围是 \((\)　　\()\)

              A．\([\dfrac{\sqrt{2}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}]\) 
              B．\([\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}]\)
              C．\([\dfrac{\sqrt{3}}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{3}]\) 
              D．\([\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3}]\)
              难度：中等
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            • 6．

              如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为平行四边形，\(PA⊥\)底面\(ABCD\)，\(M\)是棱\(PD\)的中点，且\(PA=AB=AC=2\)，\(BC=2\sqrt{2}\)．



              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(CD⊥\)平面\(PAC\)；

              \((\)Ⅱ\()\)如果\(N\)是棱\(AB\)上一点，且直线\(CN\)与平面\(MAB\)所成角的正弦值为\(\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)，求\(\dfrac{AN}{NB}\)的值．

              难度：较易
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