知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁ ， ∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，已知矩形ABCD所在平面与等腰直角三角形BEC所在平面互相垂直，BE⊥EC，AB=BE，M为线段AE的中点．
（Ⅰ）证明：BM⊥平面AEC；
（Ⅱ）求MC与平面DEC所成的角的余弦值．

难度：中等

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3．在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，A₁A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A₁B，AC₁所成角的余弦值；
（II）求直线AB₁与平面C₁AD所成角的正弦值．

难度：中等

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4．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA⊥平面ABCD，又棱PA=AB=2，E为CD的中点，∠ABC=60°．
（Ⅰ）求证：直线EA⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线AE与平面PCD所成角的正切值．

难度：中等

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5．（2016春•连云港期中）如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C．
（1）求CE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B与平面BDE夹角的正弦值．

难度：中等

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6．（2015秋•黄冈校级期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3
2
；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q垂直于AP，并证明你的结论．

难度：中等

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7．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁和BB₁的中点．
（1）求证：四边形AEC₁F为平行四边形；
（2）求直线AA₁与平面AEC₁F所成角的正弦值．

难度：中等

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8．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD中点，M为线段PC上的一点．
（1）若M为PC中点，求证：ME∥平面PAB；
（2）若二面角M-EB-C的平面角为60°，求直线AB与平面MEB所成角的余弦值．

难度：中等

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9．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的余弦值．

难度：较难

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10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求直线EF与平面PCD所成的角．

难度：中等

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