知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•佛山二模）如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）当BC⊥CD时，直线BC与平面A₁BD所成的角能否为45°？并说明理由．

难度：中等

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2．（2015秋•黄冈校级期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3
2
；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q垂直于AP，并证明你的结论．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2
3
，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC与平面BC₁D所成角；
（3）求三棱锥C-BC₁D的体积．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥A-BDEC中，AD⊥平面BDEC，底面BDEC为直角梯形，∠BDE=90°，BC∥DE，AD=DB=
2
2
，BC=2DE=1，
（Ⅰ）求证：面ADC⊥面ABE；
（Ⅱ）求点E到平面ABC的距离．

难度：中等

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5．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求PC与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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6．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2
2
，CD=2，AA₁=2，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E是A₁D上一点，且A₁E=2ED．
（1）求证：EO∥平面A₁ABB₁；
（2）求直线A₁B与平面A₁ACC₁所成角的正弦值．

难度：中等

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7．如图，△BCD与△MCD都是正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABM；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求三棱锥A-BCD与三棱锥M-ACD的体积比；
（Ⅲ）若AB=2
3
，CD=2，求直线DM与平面ACM所成角的正弦值．

难度：中等

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8．在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是B₁C₁，A₁D₁的中点．
（1）证明：BD⊥A₁C；
（2）求AC与平面ABEF夹角的正弦值．

难度：中等

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9．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧面A₁ADD₁⊥面ABCD，底面ABCD是矩形，且AB=2，AD=1，AA₁=
5
，∠A₁AD的余弦值为
5
5
．
（1）求证：平面A₁DCB₁⊥平面ABCD；
（2）求BD₁与平面ABCD所成角的正切值．

难度：中等

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10．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底边与侧棱长均为1，点E、F是侧棱上的中点
（1）求AF与底面ABC所成角的正切值；
（2）求四棱锥A-BEFC的体积．

难度：较易

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