知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ BD，平面EFBD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A-BF-D的余弦值．

难度：中等

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2．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AB=AC，D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（II）求证：平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

难度：较易

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3．如图，已知平面ADC∥平面A₁B₁C₁，B为线段AD的中点，△ABC≈△A₁B₁C₁，四边形ABB₁A₁为正方形，平面AA₁C₁C丄平面ADB₁A₁，A₁C₁=A₁A，∠C₁A₁A= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，M为棱A₁C₁的中点．
（I）若N为线段DC₁上的点，且直线MN∥平面ADB₁A₁，试确定点N的位置；
（Ⅱ）求平面MAD与平面CC₁D所成的锐二面角的余弦值．

难度：难

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点．
（1）求证：PC∥平面BMN；
（2）求证：平面BMN⊥平面PAC．

难度：较易

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5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AA₁的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BC₁D；
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=4，求点E到平面BC₁D的距离．

难度：较易

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6．如图所示，四边形ABCD为菱形，AF=2，AF∥DE，DE⊥平面ABCD．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）当DE为何值时，直线AC∥平面BEF？请说明理由．

难度：较易

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求证：AD∥平面PBC．

难度：较易

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8．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．
（1）若DE∥平面A₁MC₁，求 $%20%5Cfrac%20%7BCE%7D%7BEB%7D$ ；
（2）求证：平面B₁MC₁⊥平面A₁MC₁．

难度：较易

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9．（2016•南通模拟）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|
AB
|=1，
A1P
=λ
A1C
(0＜λ＜1)．
（1）若λ=
1
2
，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

难度：较难

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10．如图，四棱锥P-ABCD的底边ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值．

难度：中等

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