知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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2．（2016春•赣州校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（I）求证：平面ABB₁A⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CC₁（不含端点）上，是否存在点E，便得二面角E-B₁D-B的余弦值为-
7
14
？若存在，求出
|CE|
|CC1|
的值，若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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4．如图，△BCD与△ECD都是边长为2的正三角形，平面ECD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2
3
．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABE；
（Ⅱ）求点A到平面EBC的距离；
（Ⅲ）求平面ACE与平面BCD所成二面角的正弦值．

难度：中等

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5．（2014秋•云南校级月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）点M在线段PC上，二面角M-BQ-C为60°，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求三棱锥M-BCQ的体积．

难度：中等

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6．如图，三棱锥C-ABD的棱AB在平面α内，棱CD在平面α外，平面CAB⊥平面α，点D在平面α内的射影为E，且满足EA⊥EB，AC=BC=EA=EB=2，DE=2
2
．
（1）求证：AE∥平面BCD；
（2）求二面角E-CD-B的正弦值．

难度：中等

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7．如图所示，多面体A₁B₁D₁DCBA是长方体A₁B₁C₁D-ABCD被平面B₁CD₁截去一个三棱锥后所得的几何体，M为B₁D₁的中点，过A₁、D、M的平面交CD₁于点N．
（1）证明：MN∥B₁C；
（2）若AB=AD=2，AA₁=4，求二面角A-MN-B的余弦值．

难度：中等

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8．在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求异面直线PA，BC所成角；
（2）设Q为棱PC上一点，
PQ
=λ
PC
，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为60°．

难度：中等

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9．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AD=2AB=2AA′=2．
（1）求证：A′B⊥平面ADC′；
（2）求二面角D′-AC-D的正切值．

难度：中等

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10．如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥AD于O，AP⊥BC，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B的大小为
π
4
？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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