知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•虹口区二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：
（1）异面直线PC与AD所成角的大小；
（2）四棱锥P-ABCD的体积与侧面积．

难度：中等

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2．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AB=
2
，AA₁=AC=CB=1．
（1）求异面直线AE与BC₁所成角的余弦值；
（2）求二面角D-A₁C-A的正切值．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=CC₁=2，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（1）求异面直线AC₁与BB₁所成的角；
（2）求四面体B₁C₁CD的体积．

难度：中等

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4．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是CC₁的中点，且A₁B⊥A₁D．
（1）证明：平面A₁BD⊥平面BDE；
（2）求直线A₁D与直线BE所成角的余弦值．

难度：中等

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5．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2，M为线段AD的中点．
（1）求直线MF与直线BD所成角的余弦值；
（2）若平面ABF与平面DBF所成角为θ，且tanθ=2
2
，求线段AB的长．

难度：中等

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7．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．

（1）求证：M、N、P、Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．

难度：中等

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8．已知四棱锥P-GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=
3
4
BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4．
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且
DF
•
GC
=0，
PF
=k
CF
，求k的值．

难度：中等

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9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁E与A₁D所成的角；
（2）若二面角D₁-EC-D的大小为45°，求直线BC₁与面D₁EC所成的角的正切．．

难度：中等

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10．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=
3
，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁C与A₁D所成的角的余弦值；
（2）当二面角D₁-EC-D的大小为45°时，求点B到面D₁EC的距离．

难度：中等

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