知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中点，且∠BCD=120°．
（Ⅰ）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求直线PD与平面CDM所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在直角梯形AA₁B₁B中，∠A₁AB=90°，A₁B₁∥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=2，直角梯形AA₁C₁C通过直角梯形AA₁B₁B以直线AA₁为轴旋转得到，且使得平面AA₁C₁C⊥平面AA₁B₁B．点M为线段BC的中点，点P是线段BB₁中点．
（Ⅰ）求证：A₁C₁⊥AP；
（Ⅱ）求二面角P-AM-B的余弦值．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD，过AB的平面分别交棱PC，PD于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC．

难度：中等

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4．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若AB=PA=2，求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）若∠PDA=60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．

难度：较难

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5．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．过AB的平面与侧棱CC₁，DD₁分别交于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：A₁C₁⊥平面DBB₁D₁．

难度：中等

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6．已知四棱锥P-ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=
1
2
AB，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且AN=CS=
1
4
AB．
（1）证明：DM⊥SN；
（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．

难度：中等

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7．（2015秋•廊坊期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD₁垂直于平面ABCD，且CD1=
3
，M是线段AB的中点．
（1）求证：BC⊥AD₁；
（2）设N是线段AC上的一个动点，问当
CN
AC
的值为多少时，可使得D₁N与平面C₁D₁M所成角的正弦值为
1
5
，并证明你的结论．

难度：较难

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8．（2015秋•常州期末）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=A₁C，D，E，F分别为AB，A₁C₁，AA₁的中点，平面AA₁C₁C⊥平面ABC．G，H分别在AD，AC上，且AD=4AG，GH∥CD．求证：
（1）AB⊥CE；
（2）平面FGH∥平面CDE．

难度：中等

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9．（2015秋•滨州期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=
1
3
AD，过BC的平面交PD于M，交PA于N（N与A不重合）．
（1）求证：MN∥BC；
（2）若PM=
1
3
PD，求证：AC⊥BM．

难度：中等

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10．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上，点M是线段AB的中点．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

难度：中等

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