知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁，
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-AA₁C₁的体积．

难度：较易

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2．（2016•浦东新区三模）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．

难度：中等

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3．（2016•云南一模）如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（I）求证：AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B-AC-D的正弦值．

难度：中等

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4．（2016•甘肃一模）如图，在三棱锥P-ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B-PA-C为120°．
（I）证明：FG⊥AH；
（Ⅱ）求二面角A-CP-B的余弦值．

难度：中等

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5．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=
2
．平面ASD⊥平面SDC．
（1）求证：SD⊥AC；
（2）求二面角S-AB-D的余弦值．

难度：中等

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6．如图，矩形ACEF所在的平面与Rt△ABC所在的平面垂直，D是AF的中点，且AC=BC=AD=
1
2
CE．
（1）证明：DE⊥BC；
（2）求多面体BCDFE与四面体BCDF的体积比．

难度：中等

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7．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判断AE与PD是否垂直，并说明理由；
（2）设PA=AB=2，三棱锥E-PCD的体积．

难度：中等

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8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影为A₁B₁的中点O，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°
（1）求证：AB⊥CC₁；
（2）若CO=
2
2
，求点C到平面ABO的距离．

难度：中等

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9．如图甲，在边长为4的等边△ABC中，点E，F分别为AB，AC上一点，且EF∥BC，EF=2a，沿EF将△AEF折起，使得平面AEF⊥平面EFCB，形成一个如图乙所示的四棱锥，设O为EF的中点．
（1）求证：AO⊥BE；
（2）当a为何值时，四棱锥A-EFCB的体积最大，并求出最大值．

难度：中等

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10．已知P是四边形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PD，在四边形ABCD中，BA=AD，BA⊥AD，O是BD的中点，OC=
1
2
OA=
1
3
OP．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）求二面角A-PD-C余弦值．

难度：中等

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